如何理解算法時間複雜度的表示

先從O(1) 來講，理論上哈希表就是O(1)。由於哈希表是經過哈希函數來映射的，因此拿到一個關鍵 字，用哈希函數轉換一下，就能夠直接從表中取出對應的值。和現存數據有多少毫無關係，故而每次執行 該操做只須要恆定的時間（固然，實際操做中存在衝突和衝突解決的機制，不能保證每次取值的時間是完 全同樣的）。舉個現實的例子，好比個人身後有一排櫃子，裏面有香蕉（代號B），蘋果（代號A），葡萄 （G），如今你說A，我迅速的就把蘋果遞過來了；你說B，我迅速就把香蕉遞過來了。就算你再增長菠蘿 （P）、火龍果(H)，可是你說一個代號，我遞給你相應的水果這個速度是幾乎不會變的。

至於O(n) ，這個就是說隨着樣本數量的增長，複雜度也隨之線性增長。典型的好比數數。若是一我的 從1數到100，須要100秒，那麼從1到200，基本上不會小於200秒，因此數數就是一個O(n) 複雜度的 事情。通常來講，須要序貫處理的算法的複雜度，都不會低於O(n) 。好比說，若是咱們要設計一個算 法從一堆雜亂的考試的卷子裏面找出最高的分數，這就須要咱們從頭至尾看完每一份試卷，顯然試卷越 多，須要的時間也越多，這就是一個O(n) 複雜度的算法。

O(n2) 是說，計算的複雜度隨着樣本個數的平方數增加。這個例子在算法裏面，就是那一羣比較挫的 排序，好比冒泡、選擇等等。沿着咱們剛纔的說的那個試卷的例子，等咱們找出最高的分數以後，放在一 邊另起一堆，而後用一樣的方法找第二高的分數，再放到新堆上…… 這樣咱們作n次，試卷就按照分數從低 到高都排好了。由於有n份試卷，第一次翻卷找最高分,要找n份試卷,第二次翻卷要找n-1份試卷,第三次翻卷要找n-2份試卷.... ,總共要找n+(n-1)+(n-2)...+1次,也就是 (n+1)n/2次,   捨去常數,就是n2次. 算法時間複雜度就是O(n2).    再好比說構建一個網絡，每一個點都和其餘的點相連。顯然，每當咱們增長一個點，其實就須要構建這個點 和全部現存的點的連線，而現存的點的個數是n，因此每增長1，就須要增長n個鏈接，那麼若是咱們增長n 個點呢，那這個鏈接的個數天然也就是 O(n2) 量級了。

不管是翻試卷，仍是建立網絡，每增長一份試卷，每增長一個點，都須要給算法執行人帶來n量級的工做 量，這種算法的複雜度就是 O(n2)。

而後是O(nlogn) ，這是常見算法複雜度裏面相對難理解的，就是這個log怎麼來的。前面那個 n，表明執行了n次 的操做，因此理解了log(n)，就理解了nlog(n)。

O(logn)的算法複雜度，典型的好比二分查找。設想一堆試卷，已經從高到底按照分數排列了，咱們現 在想找到有沒有59分的試卷。怎麼辦呢？先翻到中間，把試卷堆由中間分紅上下兩堆，看中間這份是大於 仍是小於59，若是大於，就留下上面那堆，別的丟掉，若是小於，就留下下面那堆，丟掉上面。而後按照 一樣的方法，每次丟一半的試卷，直到丟無可丟爲止。

具體舉一個例子, 假若有32份試卷，你丟一次，還剩16份 ，丟兩次，還剩下8 份，丟三次，就只剩下4份了，能夠這麼一直 丟下去，丟到第五次，就只剩下一份了。也就是咱們一次丟一半，總要丟到只有一份的時候才能出那個要找的59分的卷子，一共執行了5次,2的5次方=32, 若是有n份，也就是大約須要log2n 次，才能得出「找到」或者「沒找到」的結果。固然你說你三分查找，每次丟三 分之二可不能夠？固然也能夠，可是算法複雜度在這裏是忽略常數的，因此無論以2爲底，仍是以什麼數爲 底，都統一的寫成 的形式。

理解了這一點，就能夠理解快速排序爲何是 O(nlog(n))了。好比對一堆帶有序號的n本書進行排序，怎麼快速排序呢？就是隨便先選一本，而後把號碼大於這本書的扔右邊，小於這本書的扔左邊。由於每本書都要比較 一次，因此這麼搞一次的複雜度是O( n)，那麼快速排序須要咱們重複多少次呢？這又回到了二分查找的邏 輯了，通過第一次後,這堆書一分爲二堆,  每堆是n/2本 , 在這兩堆上再重複上面的步驟, 每堆排序一次的步驟n/2次  兩堆共n/2+n/2=n次 , 再兩堆分四堆,每堆的步驟是n/4次, 四堆共n/4+n/4+n/4+n/4=n次....  因此每次分堆後,總的步驟次數都是n次, 請問分多少次手裏每堆裏只有一本書呢？答案仍是log2n 。因此分堆次數是log2n ,而每分一次堆後排序總步驟是n次,所以總的次數是nlogn.也就是時間複雜度爲O(nlogn).