仙人掌&圓方樹學習筆記

時間 2019-11-09

標籤仙人掌學習筆記简体版

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仙人掌&圓方樹學習筆記

一、仙人掌

圓方樹用來幹啥？php

——處理仙人掌的問題。html

仙人掌是啥？算法

(圖片來自於$BZOJ1023$)網絡

——也就是任意一條邊只會出如今一個環裏面。學習

固然，若是你的圖片想看起來舒服一點，也能夠把圖片變成這樣子spa

(圖片來源於網絡)翻譯

二、DFS樹

爲啥要寫這個？--由於這個看起來也能夠解決一些仙人掌的問題。3d

對於一個仙人掌，咱們隨便構建出一棵生成樹。code

而後咱們就多了一些邊——能夠叫返祖邊，非樹邊……你想叫啥就叫啥。htm

由於每條邊只會出如今一個環中，

因此每一條返祖邊覆蓋了樹中的一條鏈，這條鏈+這條邊構成了環。

因此咱們能夠肯定每條邊都出如今了哪一個環中。

這樣子能夠解決一點點仙人掌的問題。

好比仙人掌的最大獨立集，$dp$的時候額外記錄一下所在環的返祖邊的端點的狀態就行了。

三、圓方樹是啥

~~看WC2017的營員交流的課件真的看得想死~~

先來定義一下什麼是圓方樹。

如下內容來自於課件：

仙人掌 $G = (V, E)$ 的圓方樹 $T = (V_T , E_T )$ 爲知足如下條件的無向圖:
$V_ T = R_ T ∪ S_ T , R_ T = V, R_ T ∩ S_ T = ∅$,咱們稱$ R_ T$ 集合爲圓點、$S_ T$
集合爲方點
$∀e ∈ E$,若 $e$ 不在任何簡單環中,則 $e ∈ E_T$
對於每一個仙人掌中的簡單環 $R$,存在方點 $p_ R ∈ S_ T$ ,而且 $∀p ∈ R$ 滿
足 $(p _R , p) ∈ E_ T$ ,即對每一個環建方點連全部點

據說你看完挺混亂？

我來翻譯一下：

對於一個仙人掌，它的圓方樹以下定義：

首先分爲了兩類點，一類是圓點，一類是方點。

圓點就是原仙人掌中全部的點，方點是咱們新添加進去的點。

而圓方樹的連邊規則是這樣的：

若是一條邊在仙人掌中不屬於任何一個環中，那麼它直接圓方樹中的兩個圓點。

對於仙人掌中的任意一個環，則每一個環上的點在圓方樹上對應的圓點向這個環對應的方點連邊。

如何證實圓方樹是一棵樹？

（如下內容來自於課件）

不在環上的邊在圓方樹中依然存在,

所以這些邊連通性不變;

每一個環經過新建方點的方式連成一朵菊花,連通性不變。

所以圓方樹是無向連通圖。

原圖中環的個數爲 $|E| − |V| + 1$,則
$|V _T | = |S _T | + |R_ T | = |V| + |E| − |V| + 1 = |E| + 1,|E _T | = |E|$

(大小爲$r$ 的環在仙人掌和圓方樹中都是 $r$ 條邊),所以知足 $|V_ T | = |E_ T | + 1$

證實分爲了兩步：

首先證實它是聯通的。

而後就證實了點數=邊數+1

這樣就是一棵樹了。

而後讓我把課件上的一張圖片給蒯過來

好的，圓方樹就長成這個樣子啦。

四、如何構建圓方樹

我想，看了上面的東西，知道了圓方樹是啥，咱們很容易就知道怎麼構建圓方樹了吧。

首先$Tarjan$縮點，把每一個大小超過$1$的環裏面的全部點都向一個新點（方點）連邊。

而後把多出來的連接兩個圓點的邊直接給連上就行了。

彷佛真的很簡單？

五、圓方樹的性質

1.方點不會直接和方點相連

證實：

方點只會和屬於一個強連通份量的點相連，顯然不會和方點相連。

2.不管取哪一個點爲根，圓方樹的形態是同樣的

證實：

~~這不仍是廢話嗎？~~

對於一個環，咱們顯然對應的是一個方點，不管以哪一個點爲根，

這個環是不會變的，除了方點的編號不同以外就沒有任何不一樣了。

因此圓方樹是無根樹。

定義：子仙人掌

以$r$爲根的仙人掌上的點$p$的子仙人掌是去除掉$p$到$r$的全部簡單路徑後，$p$所在的聯通塊

3.以$r$爲根的仙人掌上$p$的子仙人掌就是圓方樹中以$r$爲根時，$p$子樹中的全部圓點

證實：

若是$p$不在環上，顯然成立。

不然，此時去除全部到達根節點的全部簡單路徑後，

剩下的只有和$p$相連的，而且不和$p$在一個環內的點

顯然是圓方樹上$p$子樹中的圓點（和它在一個環內的圓點都不和它直接相連了）

六、如何解決仙人掌上的一些簡單的問題

a.求仙人掌的最大獨立集(BZOJ4316)

這道題目顯然有直接用$dfs$樹的$dp$求法，見這裏。

可是咱們是在學習仙人掌，因此固然要用仙人掌的方法來求解啊。

其實這裏圓方樹沒有必要出來，沒有必要區分圓點和方點。

咱們也是直接作$dp$，可是與$dfs$樹不一樣的是，

咱們直接在$Tarjan$過程當中作$dp$(彷佛本質也是$dfs$樹？)

碰到圓圓邊(圓點和圓點直接的邊)就是普通的樹型$dp$進行轉移

若是是一個環上的邊的話，那麼咱們先暫時不進行操做。

當回到這個環的最上方的時候，對於這個環就行一次單獨的$dp$

將答案累加給環的頂端，這樣向上轉移又和樹同樣了

具體的題解戳這裏

b.求仙人掌直徑(BZOJ1023)

和普通的樹求直徑用同樣的$dp$就能夠了。

對於一個環，拉出來特殊考慮，用一個單調隊列維護一下。

具體的實現方法戳這裏

c.仙人掌兩點間的最短路(BZOJ2125)

構建出圓方樹(圓方樹：終於須要用到我了)，直接把圓方樹樹鏈剖分(主要是用來求$LCA$)

圓圓邊和原仙人掌是同構的，圓方邊的權值定義以下：

咱們知道方點的父親必定是圓點(轉換爲有根樹以後)，

這樣子把每條圓方邊的權值賦爲到達方點父親的最短路徑就好啦。

更加詳細的題解和代碼戳這裏。

這一部分的小節

前兩個問題彷佛用不到圓方樹，只須要普通的$dp$便可解決。實現的方法和普通的樹型$dp$是相似的，可是也有幾點區別：首先不是普通的$dfs$，而是$Tarjan$算法的實現過程當中，順帶解決$dp$問題。另一個是仙人掌上的問題須要額外處理環的問題，每次找到環以後須要特殊處理。因此，解決這類問題也就是兩步：首先想好怎麼在樹上解決（圓圓邊如何解決），而後想好怎麼處理環的答案。

第三個問題就須要用到圓方樹啦，然而本質仍然是處理環和普通的樹邊之間的關係，只須要把這層關係想清楚，這一類問題應該仍是比較好解決的。