K-Means 聚類算法原理分析與代碼實現

前言

　　在前面的文章中，涉及到的機器學習算法均爲監督學習算法。

　　所謂監督學習，就是有訓練過程的學習。再確切點，就是有 "分類標籤集" 的學習。

　　如今開始，將進入到非監督學習領域。從經典的聚類問題展開討論。所謂聚類，就是事先並不知道具體分類方案的分類 (容許知道分類個數)。

　　本文將介紹一個最爲經典的聚類算法 - K-Means 聚類算法以及它的兩種實現。

現實中的聚類分析問題 - 總統大選

　　假設 M 國又開始全民選舉總統了，目前 Mr.OBM 的投票率爲48%(投票數佔全部選民人數的百分比)，而 Mr.MKN 的爲47%，而剩下的一部分出於【種種緣由】沒有投票。

　　作爲其中某個陣營的人，天然是但願可以儘量的爭取到這些剩餘的票 -由於這徹底可能影響最終選舉結果。

　　然而，你不可能爭取到這些人的全部投票，由於你知足某個羣體的人，也許就傷害到了另外一羣人的利益。

　　一個很不錯的想法是將這些人分爲 K 個羣體，而後主要對其中人數最多的幾個羣體作工做。這就須要使用到聚類的策略了。

　　聚類策略是蒐集剩餘選民的用戶信息(各類滿意/不滿意的信息)，將這些信息輸入進聚類算法，而後對聚類結果中人數最多的簇的選民作思想工做。

　　可能你會發現某個簇的選民都是一個社區的，一個宗教信仰的，或者具備某些共性。這樣就方便各類各樣的拉票活動了。

K-Means 聚類算法

　　K，指的是它能夠發現 K 個簇；Means，指的是簇中心採用簇所含的值的均值來計算。

　　下面先給出僞代碼：

1 建立 k 個點做爲起始質心 (隨機選擇):
2     當任意一個點的簇分配結果發生改變的時候:
3         對數據集中的每一個數據點:
4             對每一個質心:
5                 計算質心與數據點之間的距離
6             將數據點分配到距其最近的簇
7         對每個簇:
8             求出均值並將其更新爲質心

　　而後是一個具體實現Python程序：

  1 #!/usr/bin/env python
  2 # -*- coding:UTF-8 -*-
  3 
  4 '''
  5 Created on 2015-01-05
  6 
  7 @author: fangmeng
  8 '''
  9 
 10 from numpy import *
 11 
 12 #==================================
 13 # 輸入:
 14 #        fileName: 數據文件名(含路徑)
 15 # 輸出:
 16 #        dataMat: 數據集
 17 #==================================
 18 def loadDataSet(fileName):
 19     '載入數據文件'
 20     
 21     dataMat = []
 22     fr = open(fileName)
 23     for line in fr.readlines():
 24         curLine = line.strip().split('\t')
 25         fltLine = map(float,curLine)
 26         dataMat.append(fltLine)
 27     return dataMat
 28 
 29 #==================================================
 30 # 輸入:
 31 #        vecA: 樣本a
 32 #        vecB: 樣本b
 33 # 輸出:
 34 #        sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))): 樣本距離
 35 #==================================================
 36 def distEclud(vecA, vecB):
 37     '計算樣本距離'
 38     
 39     return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2)))
 40 
 41 #===========================================
 42 # 輸入:
 43 #        dataSet: 數據集
 44 #        k: 簇個數
 45 # 輸出:
 46 #        centroids: 簇劃分集合(每一個元素爲簇質心)
 47 #===========================================
 48 def randCent(dataSet, k):
 49     '隨機初始化質心'
 50     
 51     n = shape(dataSet)[1]
 52     centroids = mat(zeros((k,n)))#create centroid mat
 53     for j in range(n):#create random cluster centers, within bounds of each dimension
 54         minJ = min(dataSet[:,j]) 
 55         rangeJ = float(max(dataSet[:,j]) - minJ)
 56         centroids[:,j] = mat(minJ + rangeJ * random.rand(k,1))
 57     return centroids
 58 
 59 #===========================================
 60 # 輸入:
 61 #        dataSet: 數據集
 62 #        k: 簇個數
 63 #        distMeas: 距離生成器
 64 #        createCent: 質心生成器
 65 # 輸出:
 66 #        centroids: 簇劃分集合(每一個元素爲簇質心)
 67 #        clusterAssment: 聚類結果
 68 #===========================================
 69 def kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent):
 70     'K-Means基本實現'
 71     
 72     m = shape(dataSet)[0]
 73     # 簇分配結果矩陣。一列爲簇分類結果，一列爲偏差。
 74     clusterAssment = mat(zeros((m,2)))
 75     # 建立原始質心集
 76     centroids = createCent(dataSet, k)
 77     # 簇更改標記
 78     clusterChanged = True
 79     
 80     while clusterChanged:
 81         clusterChanged = False
 82         
 83         # 每一個樣本點加入其最近的簇。
 84         for i in range(m):
 85             minDist = inf; minIndex = -1
 86             for j in range(k):
 87                 distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:])
 88                 if distJI < minDist:
 89                     minDist = distJI; minIndex = j
 90             if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True
 91             clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2
 92             
 93         # 更新簇
 94         for cent in range(k):#recalculate centroids
 95             ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]]
 96             centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) 
 97             
 98     return centroids, clusterAssment
 99  
100 def main():
101     'k-Means聚類操做展現'
102     
103     datMat = mat(loadDataSet('/home/fangmeng/testSet.txt'))
104     myCentroids, clustAssing = kMeans(datMat, 4)
105     
106     #print myCentroids
107     print clustAssing
108  
109 if __name__ == "__main__":
110    main()

　　測試結果：

　　

K-Means性能優化

　　主要有兩種方式：

　　1. 分解最大SSE (偏差平方和)的簇

　　PS：直接在簇內執行一次 k=2 的 K-Means 聚類便可。

　　2. 合併距離最小的簇 或者 合併SSE增幅最小的兩個簇

　　基於這兩種最基本優化策略，有一種更爲科學的聚類算法 - 二分K-Means算法，下面進行詳細介紹。

二分K-Means算法

　　該算法大體思路爲：首先將全部的點做爲一個簇，而後將該簇一分爲二。以後選擇其中一個簇繼續劃分。

　　選擇方法天然是選擇SSE增長更小的那個方式。

　　如此不斷 "裂變"，直到獲得用戶指定數目的簇。

　　僞代碼：

將全部點視爲一個簇:
    當簇數目小於k時:
        對於每個簇:
            計算SSE
            在給定的簇上面進行 k=2 的K-Means聚類
            計算將簇一分爲二後的SSE
        選擇使得偏差最小的那個簇進行劃分操做

　　具體實現函數：

 1 #======================================
 2 # 輸入:
 3 #        dataSet: 數據集
 4 #        k: 簇個數
 5 #        distMeas: 距離生成器
 6 # 輸出:
 7 #        mat(centList): 簇劃分集合(每一個元素爲簇質心)
 8 #        clusterAssment: 聚類結果
 9 #====================================== 
10 def biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud):
11     '二分K-Means聚類算法'
12     
13     m = shape(dataSet)[0]
14     # 聚類結果數據結構
15     clusterAssment = mat(zeros((m,2)))
16     # 原始質心
17     centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0]
18     centList =[centroid0]
19     
20     # 統計原始SSE
21     for j in range(m):
22         clusterAssment[j,1] = distMeas(mat(centroid0), dataSet[j,:])**2
23     
24     # 循環執行直到獲得k個簇
25     while (len(centList) < k):
26         # 最小SSE
27         lowestSSE = inf
28         # 找到最適合分裂的簇進行分裂
29         for i in range(len(centList)):
30             ptsInCurrCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:]
31             centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas)
32             sseSplit = sum(splitClustAss[:,1])
33             sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1])
34             
35             if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE:
36                 bestCentToSplit = i
37                 bestNewCents = centroidMat
38                 bestClustAss = splitClustAss.copy()
39                 lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit
40     
41         # 本次劃分信息
42         bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) 
43         bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit
44         
45         # 更新簇集
46         centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]
47         centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])
48         # 更新聚類結果集
49         clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss
50         
51     return mat(centList), clusterAssment

　　測試結果：

　　

小結

　　1. KMeans的用途很普遍，再舉個例子吧：好比你計劃要去中國100個城市旅遊，那麼如何規劃路線呢？

　　---> 能夠採用聚類的方法，將這些城市聚到幾個簇裏面，而後一個 」簇"一個 "簇" 的進行遊玩。質心就至關於機場，偏差平方和就至關於遊玩城市到質心的距離 :)

　　2. KMeans算法是很經常使用的聚類算法，然而，這裏也要提一提它的缺點 - k值選取很難。這個話題也產生了不少研究，文章。有興趣的讀者能夠進一步研究。