簡介
本文抄於https://www.cnblogs.com/baby123/p/6296629.htmlhtml
SymPy是一個符號計算的Python庫。它的目標是成爲一個全功能的計算機代數系統，同時保持代碼簡 潔、易於理解和擴展。它徹底由Python寫成，不依賴於外部庫。SymPy支持符號計算、高精度計算、模式匹配、繪圖、解方程、微積分、組合數學、離散 數學、幾何學、機率與統計、物理學等方面的功能。(來自維基百科的描述)python
更多內容請查看本人我的博客：https://huiyang865.github.io/2016/08/27/sympy/linux
Sympy安裝方法
安裝命令：pip install sympygit
基本數值類型
實數，有理數和整數
SymPy有三個內建的數值類型：實數，有理數和整數。有理數類用兩個整數來表示一個有理數。分子與分母，因此Rational(1,2)表明1/2，Rational(5,2)表明5/2，等等。github
>>>from sympy import * >>>a = Rational(1,2) >>>a 1/2 >>>a*2 1 >>>Rational(2)**50/Rational(10)**50 1/88817841970012523233890533447265625
當利用Python的整數計算時要注意一下，Python只會截取除法的整數部分：算法
>>>1/2 0 >>>1.0/2 0.5
然而你能夠：express
>>>from __future__ import division >>>1/2 #doctest: +SKIP 0.5
正確的除法在python3k和isympy中這樣作，是標準的。app
特殊的常數
咱們也能夠有一些特殊的常數，像e和pi，它們會被看成符號去對待。（1+pi不會求得值，反而它會保持爲1+pi），例如：函數
>>>pi**2 pi**2 >>>pi.evalf() 3.14159265358979 >>>(pi+exp(1)).evalf() 5.85987448204884
求表達式的浮點數-evalf()函數
正如你看到的，evalf()函數能夠用求出表達式的浮點數。
有一個無窮大的類型，被成爲oo：post
>>>oo > 99999
True
>>>oo + 1
oo
If the substitution will be followed by numerical evaluation, it is better to pass the substitution to evalf as
>>> (1/x).evalf(subs={x: 3.0}, n=21)
0.333333333333333333333
rather than
>>> (1/x).subs({x: 3.0}).evalf(21)
0.333333333333333314830
Sympy基本使用
定義變量-Symbols函數
對比與其餘的計算機代數系統，在SymPy中要明確聲明符號變量：
>>> x = symbols('x')
>>> x + 1
x + 1
>>>x,y,z=symbols('x y z')
>>> crazy = symbols('unrelated')
>>> crazy + 1
unrelated + 1
>>> x = symbols('x')
>>> expr = x + 1
>>> x = 2
>>> print(expr)
x + 1
Changing x to 2 had no effect on expr. This is because x = 2 changes the Python variable x to 2, but has no effect on the SymPy Symbol x, which was what we used in creating expr.
變量替換subs函數
>>> x = symbols('x')
>>> expr = x + 1
>>> expr.subs(x, 2)
3
>>> from sympy import pi, exp, limit, oo
>>> from sympy.abc import x, y
>>> (1 + x*y).subs(x, pi)
pi*y + 1
>>> (1 + x*y).subs({x:pi, y:2})
1 + 2*pi
>>> (1 + x*y).subs([(x, pi), (y, 2)])
1 + 2*pi
>>> reps = [(y, x**2), (x, 2)]
>>> (x + y).subs(reps)
6
>>> (x + y).subs(reversed(reps))
x**2 + 2
>>> (x**2 + x**4).subs(x**2, y)
y**2 + y
>>> (x**2 + x**4).xreplace({x**2: y})
x**4 + y
>>> (x/y).subs([(x, 0), (y, 0)])
0
>>> (x/y).subs([(x, 0), (y, 0)], simultaneous=True)
nan
>>> ((x + y)/y).subs({x + y: y, y: x + y})
1
>>> ((x + y)/y).subs({x + y: y, y: x + y}, simultaneous=True)
y/(x + y)
>>> limit(x**3 - 3*x, x, oo)
oo
調用方式：[subs(*args, **kwargs)]
代數
局部的代數式展開，使用apart(expr, x):
In [1]: 1/( (x+2)*(x+1) )
Out[1]:
1
───────────────
(2 + x)*(1 + x)
In [2]: apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x)
Out[2]:
1 1
───── - ─────
1 + x 2 + x
In [3]: (x+1)/(x-1)
Out[3]:
-(1 + x)
────────
1 - x
In [4]: apart((x+1)/(x-1), x)
Out[4]:
2
1 - ─────
1 - x
代數式的合併
(至關於展開的逆運算)，使用together(expr, x)：
In [7]: together(1/x + 1/y + 1/z)
Out[7]:
x*y + x*z + y*z
───────────────
x*y*z
In [8]: together(apart((x+1)/(x-1), x), x)
Out[8]:
-1 - x
──────
1 - x
In [9]: together(apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x), x)
Out[9]:
1
───────────────
(2 + x)*(1 + x)
微積分
極限
在sympy中極限容易求出，它們遵循極限語法 limit(function, variable, point) ，因此計算x->0時f(x)的極限，即limit(f, x, 0)：
>>>from sympy import *
>>>x=Symbol("x")
>>>limit(sin(x)/x, x, 0)
1
>>>limit(x, x, oo)
oo
>>>limit(1/x, x, oo)
0
>>>limit(x**x, x, 0)
1
有一些特殊的極限的例子，能夠閱讀文件test_demidovich.py
微分
能夠對任意SymPy表達式微分。diff(func, var)。例如：
>>>from sympy import *
>>>x = Symbol('x')
>>>diff(sin(x), x)
cos(x)
>>>diff(sin(2*x), x)
2*cos(2*x)
>>>diff(tan(x), x)
1 + tan(x)**2
能夠經過如下驗證:
>>>limit((tan(x+y)-tan(x))/y, y, 0) 1 + tan(x)**2
計算高階微分 diff(func, var, n) :
>>>diff(sin(2*x), x, 1) 2*cos(2*x) >>>diff(sin(2*x), x, 2) -4*sin(2*x) >>>diff(sin(2*x), x, 3) -8*cos(2*x)
級數展開
函數 series(var, point, order)：
>>>from sympy import *
>>>x = Symbol('x')
>>>cos(x).series(x, 0, 10)
1 - x**2/2 + x**4/24 - x**6/720 + x**8/40320 + O(x**10)
>>>(1/cos(x)).series(x, 0, 10)
1 + x**2/2 + 5*x**4/24 + 61*x**6/720 + 277*x**8/8064 + O(x**10)
積分
SymPy支持不定積分，超越函數與特殊函數的定積分。SymPy有力的擴展Risch-Norman 算法和模型匹配算法。
>>>from sympy import *
>>>x, y = symbols('xy')
初等函數：
>>>integrate(6*x**5, x) x**6 >>>integrate(sin(x), x) -cos(x) >>>integrate(log(x), x) -x + x*log(x) >>>integrate(2*x + sinh(x), x) cosh(x) + x**2
特殊函數：
>>>integrate(exp(-x**2)*erf(x), x) pi**(1/2)*erf(x)**2/4
定積分：
>>>integrate(x**3, (x, -1, 1)) 0 >>integrate(sin(x), (x, 0, pi/2)) 1 >>>integrate(cos(x), (x, -pi/2, pi/2)) 2
一些廣義積分也能夠被支持：
>>>integrate(exp(-x), (x, 0, oo)) 1 >>>integrate(log(x), (x, 0, 1)) -1
複數
>>>from sympy import Symbol, exp, I
>>>x = Symbol("x")
>>>exp(I*x).expand()
exp(I*x)
>>>exp(I*x).expand(complex=True)
I*exp(-im(x))*sin(re(x)) + cos(re(x))*exp(-im(x))
>>>x = Symbol("x", real=True)
>>>exp(I*x).expand(complex=True)
I*sin(x) + cos(x)
函數
三角函數：:
In [1]: sin(x+y).expand(trig=True)
Out[1]: cos(x)*sin(y) + cos(y)*sin(x)
In [2]: cos(x+y).expand(trig=True)
Out[2]: cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
In [3]: sin(I*x)
Out[3]: I*sinh(x)
In [4]: sinh(I*x)
Out[4]: I*sin(x)
In [5]: asinh(I)
Out[5]:
π*I
───
2
In [6]: asinh(I*x)
Out[6]: I*asin(x)
In [15]: sin(x).series(x, 0, 10)
Out[15]:
3 5 7 9
x x x x
x - ── + ─── - ──── + ────── + O(x**10)
6 120 5040 362880
In [16]: sinh(x).series(x, 0, 10)
Out[16]:
3 5 7 9
x x x x
x + ── + ─── + ──── + ────── + O(x**10)
6 120 5040 362880
In [17]: asin(x).series(x, 0, 10)
Out[17]:
3 5 7 9
x 3*x 5*x 35*x
x + ── + ──── + ──── + ───── + O(x**10)
6 40 112 1152
In [18]: asinh(x).series(x, 0, 10)
Out[18]:
3 5 7 9
x 3*x 5*x 35*x
x - ── + ──── - ──── + ───── + O(x**10)
6 40 112 1152
球諧函數：
In [1]: from sympy.abc import theta, phi
In [2]: Ylm(1, 0, theta, phi)
Out[2]:
————
╲╱ 3 *cos(θ)
────────────
——
2*╲╱ π
In [3]: Ylm(1, 1, theta, phi)
Out[3]:
—— I*φ
-╲╱ 6 *│sin(θ)│*ℯ
────────────────────
——
4*╲╱ π
In [4]: Ylm(2, 1, theta, phi)
Out[4]:
——— I*φ
-╲╱ 30 *│sin(θ)│*cos(θ)*ℯ
────────────────────────────
——
4*╲╱ π
階乘和伽瑪函數：
In [1]: x = Symbol("x")
In [2]: y = Symbol("y", integer=True)
In [3]: factorial(x)
Out[3]: Γ(1 + x)
In [4]: factorial(y)
Out[4]: y!
In [5]: factorial(x).series(x, 0, 3)
Out[5]:
2 2 2 2
x *EulerGamma π *x
1 - x*EulerGamma + ────────────── + ───── + O(x**3)
2 12
Zeta函數:
In [18]: zeta(4, x)
Out[18]: ζ(4, x)
In [19]: zeta(4, 1)
Out[19]:
4
π
──
90
In [20]: zeta(4, 2)
Out[20]:
4
π
-1 + ──
90
In [21]: zeta(4, 3)
Out[21]:
4
17 π
- ── + ──
16 90
多項式
In [1]: chebyshevt(2, x)
Out[1]:
2
-1 + 2*x
In [2]: chebyshevt(4, x)
Out[2]:
2 4
1 - 8*x + 8*x
In [3]: legendre(2, x)
Out[3]:
2
3*x
-1/2 + ────
2
In [4]: legendre(8, x)
Out[4]:
2 4 6 8
35 315*x 3465*x 3003*x 6435*x
─── - ────── + ─────── - ─────── + ───────
128 32 64 32 128
In [5]: assoc_legendre(2, 1, x)
Out[5]:
—————
╱ 2
-3*x*╲╱ 1 - x
In [6]: assoc_legendre(2, 2, x)
Out[6]:
2
3 - 3*x
In [7]: hermite(3, x)
Out[7]:
3
-12*x + 8*x
微分方程
在isympy中：
In [4]: f(x).diff(x, x) + f(x) #注意在使用輸入該命令以前，必定要聲明f=Function('f')
Out[4]:
2
d
─────(f(x)) + f(x)
dx dx
In [5]: dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x))
Out[5]: C₁*sin(x) + C₂*cos(x)
代數方程
在isympy中：
In [7]: solve(x**4 - 1, x)
Out[7]: [i, 1, -1, -i]
In [8]: solve([x + 5*y - 2, -3*x + 6*y - 15], [x, y])
Out[8]: {y: 1, x: -3}
線性代數
矩陣
矩陣由矩陣類創立建:
>>>from sympy import Matrix >>>Matrix([[1,0], [0,1]]) [1, 0] [0, 1]
不僅是數值矩陣，亦可爲代數矩陣，即矩陣中存在符號：
>>>x = Symbol('x')
>>>y = Symbol('y')
>>>A = Matrix([[1,x], [y,1]])
>>>A
[1, x]
[y, 1]
>>>A**2
[1 + x*y, 2*x]
[ 2*y, 1 + x*y]
關於矩陣更多的例子，請看線性代數教程。
係數匹配
使用 .match()方法，引用Wild類，來執行表達式的匹配。該方法會返回一個字典。
>>>from sympy import *
>>>x = Symbol('x')
>>>p = Wild('p')
>>>(5*x**2).match(p*x**2)
{p_: 5}
>>>q = Wild('q')
>>>(x**2).match(p*x**q)
{p_: 1, q_: 2}
若是匹配不成功，則返回None：
>>>print (x+1).match(p**x) None
可使用Wild類的‘exclude’參數（排除參數），排除不須要和無心義的匹配結果,來保證結論中的顯示是惟一的：
>>>x = Symbol('x')
>>>p = Wild('p', exclude=[1,x])
>>>print (x+1).match(x+p) # 1 is excluded
None
>>>print (x+1).match(p+1) # x is excluded
None
>>>print (x+1).match(x+2+p) # -1 is not excluded
{p_: -1}
打印輸出
標準
str(expression)返回以下：
>>>from sympy import Integral >>>from sympy.abc import x >>>print x**2 x**2 >>>print 1/x 1/x >>>print Integral(x**2, x) Integral(x**2, x)
Pretty Printing
用pprint函數能夠輸出不錯的ascii藝術：
>>>from sympy import Integral, pprint >>>from sympy.abc import x >>>pprint(x**2) #doctest: +NORMALIZE_WHITESPACE 2 x >>>pprint(1/x) 1 - x >>>pprint(Integral(x**2, x)) / | | 2 | x dx | /
[Pretty PrintingWiki]
提示：在python解釋器中，爲使pretty printing爲默認輸出，使用：
$ python
Python 2.5.2 (r252:60911, Jun 25 2008, 17:58:32)
[GCC 4.3.1] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import *
>>> import sys
>>> sys.displayhook = pprint
>>> var("x")
x
>>> x**3/3
3
x
--
3
>>> Integral(x**2, x) #doctest: +NORMALIZE_WHITESPACE
/
|
| 2
| x dx
|
/
Python printing
>>>from sympy.printing.python import python
>>>from sympy import Integral
>>>from sympy.abc import x
>>>print python(x**2)
x = Symbol('x')
e = x**2
>>>print python(1/x)
x = Symbol('x')
e = 1/x
>>>print python(Integral(x**2, x))
x = Symbol('x')
e = Integral(x**2, x)
LaTeX printing
>>>from sympy import Integral, latex
>>>from sympy.abc import x
>>>latex(x**2)
$x^{2}$
>>>latex(1/x)
$\frac{1}{x}$
>>>latex(Integral(x**2, x))
$\int x^{2}\,dx$
MathML
>>>from sympy.printing.mathml import mathml >>>from sympy import Integral, latex >>>from sympy.abc import x >>>print mathml(x**2) <apply><power/><ci>x</ci><cn>2</cn></apply> >>>print mathml(1/x) <apply><power/><ci>x</ci><cn>-1</cn></apply>
Pyglet
>>>from sympy import Integral, preview >>>from sympy.abc import x >>>preview(Integral(x**2, x)) #doctest:+SKIP
註解
Isympy默認調用pprint，因此這就是爲何看到pretty printing爲默認的。
有一個打印的有效模塊，sympy.printing。用這個模塊實現其餘的打印：
- pretty(expr), pretty_print(expr), pprint(expr): 分別返回或者輸出，，表達式的漂亮描述。這是相同
- latex(expr), print_latex(expr):分別返回或者輸出，LaTex描寫的表達式
- mathml(expr), print_mathml(expr):分別返回或者輸出，MathML描寫的表達式
- print_gtk(expr): 表達式打印到Gtkmathview , 這是一個GTK小配件顯示MathML代碼。Gtkmathview程序是必須的。
相關連接
- 本文轉載自於：http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/39123247
- Sympy源碼庫：https://github.com/sympy/sympy
- SymPy’s documentation：http://docs.sympy.org/latest/index.html
- SymPy-符號運算好幫手：http://hyry.dip.jp/tech/book/page/scipy/sympy.html
- SymPy Tutorial(譯)：http://reverland.org/python/2012/08/30/sympy-tutorial/