數值分析 讀書筆記

經廖博這位大神的推薦，我閱讀了由Timothy Sauer著做的《數值分析》一書，本書淺顯易懂，條理清晰，讓我這種數學白癡也能看的懂，適合自學。

數值分析這門工科研究生通常要上的課是幹什麼的？ 數值分析，簡單的來講，就是講數學問題(如高數中的微分積分，微分方程)，怎麼用計算機求解的。 如解方程，X2-1=0。若是在紙上算，能很快的算出x=1或者-1，可是計算機不能這樣算，計算機須要用對分法一直計算直到算出解，並非如在紙上算那麼簡單。

1. 解方程與解方程組

       解方程就是解單個方程的解。解方程組就是解多個方程的組合解，有線性方程組和非線性方程組，能夠採用解矩陣的方式求解，基礎是高斯消去法，至於解矩陣的優化方式不少，如矩陣分解，考慮正定矩陣。

2. 插值

      輸入幾個點的數據，經過插值算法找出符合點數據的方程。 包括多項式插值與樣條法。

3.最小二乘擬合

      和插值有點像，可是插值沒有考慮噪聲點，並且點數目不少的時候並非很合適。最小二乘，就是擬合後的偏差用差平方和來表示，偏差最小的，就是擬合最好的。

4. 微分積分

      顧名思義，就是用來解微分積分的。

5. 常微分方程

     對常微分不瞭解的，請翻高等數學課本。常微分未知函數y是一元的方程。

     常微分方程不少狀況下有無限多的解，不過本書中常微分方程的分兩種問題：初值問題和邊值問題。這兩個問題都是給定一些約束條件，來求解在約束條件下的常微分問題的特解的。

      初值問題（IVP）是給定解空間左端的初始條件。

      邊界問題（BVP）會給出解區間的兩端的邊界條件。

      邊界問題兩種方法解決：打靶法和有限差分方法。

       打靶法是將邊界問題轉變爲初值問題。

       有限差分方法則是將邊界問題轉變爲線性或者非線性方程組。 這樣用前面的方法就能夠解決。

6. 偏微分方程

       偏微分方程的未知函數y是一元以上的方程。

        主要討論了三類兩自變量二姐偏微分方程：

     a. 拋物型，表明擴散系統

     b. 雙曲型，表明有波動方程

     c. 橢圓形，模擬定常狀態。

7. 隨機數

     隨機數生成的算法問題。

    主要有均勻分佈的隨機數生成和高斯分佈隨機數，僞隨機數的生成獨立性，擬隨機數則不是。

    僞隨機數生成算法有（線性同餘生成元），其有不少形式。 比較好的是最小標準隨機數生成元，比較差的是randu的。週期越長愈好。

    高斯分佈的隨機數基於均勻分佈的隨機數生成器。

    主要應用在於蒙特卡洛模擬。

 

8. 最優化問題

    不少問題均可以轉變爲最優化問題，最優化的技術不少，單變量，多變量，約束等等，不過本書講的優化問題，是最能讓人懂的。估計這也是這本書的定位：入門