容斥原理

並集

假設有\(n\)個知足全集\(U\)的性質相同的集合\(A_1,A_2,…,A_n\)，那麼他們的並集種的元素個數爲：

\[\left|\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\right|=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k+1}\left(\sum\limits_{1\leq i_1\leq…i_k\leq n}|A_{i_1}\cap…\cap A_{i_k}|\right) \]

證實

證實此式，其實就是要證實每一個元素僅出現了一次

考慮一個處於\(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\)中的元素\(x\)，他所屬\(m\)個集合\(S_1,S_2,...S_m\)，如今要統計他在並集中出現的次數。

1. 選取一個集合時，\(x\)在其中出現的次數爲\(\dbinom{m}{1}=m\)

2. 選取兩個集合時，兩個集合的貢獻爲兩個集合並集中\(x\)出現的次數的相反數

   這樣的貢獻是就是\(-\dbinom{m}{2}\)

3. 選取三個集合時，根據上述方法貢獻爲\(\dbinom{m}{3}\)

4. 繼續根據上述方法進行，當選取的集合樹\(>n\)時，\(x\)不會在並集中出現，所以沒有貢獻

則\(x\)出現的總次數爲：

\[\begin{aligned}cnt=&\dbinom{m}{1}-\dbinom{m}{2}+\dbinom{m}{3}-…+(-1)^{m-1}\dbinom{m}{m}\\=&\sum\limits_{i=1}^m(-1)^{i-1}\dbinom{m}{i}\end{aligned} \]

發現這玩意兒和二項式定理很像，試着化一化看看能不能化成二項式定理

\[\begin{aligned}cnt=&\sum\limits_{i=1}^{m}(-1)^{i-1}\dbinom{m}{i}\\=&-\sum\limits_{i=1}^{m}(-1)^i\dbinom{m}{i}\\=&\dbinom{m}{0}-\dbinom{m}{0}-\sum\limits_{i=1}^{m}(-1)^{i}\dbinom{m}{i}\end{aligned} \]

化到這一步發現右邊兩項之和就是二項式定理的式子了，能夠進一步轉化

\[=\dbinom{m}{0}-\sum\limits_{i=0}^m\dbinom{m}{i}(-1)^i1^{m-i}\\=1-(-1+1)^m\\=1 \]

因此每一個在\(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\)中的元素都只出現了一次，合併起來就是並集的元素個數，得證

交集

用全集減去補集的並集便可得出，那麼顯然也爲 補集的並集的 補集。

\[\left|\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i\right|=|U|-\left|\bigcup\limits_{i=1}^{n}\overline{A_i}\right|=\overline{\bigcup\limits_{i=1}^n\overline{A_i}} \]

拓展——\(\min-\max\)容斥

給定全序集合\(S\),設\(\max\{S\}\)爲\(S\)中的最大值，\(\min\{S\}\)爲\(S\)中的最小值，則：

\[\begin{aligned} \max \{S\} &= \sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1} \min \{T\}\\ \min \{S\} &= \sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1} \max \{T\} \end{aligned} \]

\(\min-\max\)容斥對於指望一樣知足，因此能夠很方便地解決一些機率和指望問題

證實見http://www.javashuo.com/article/p-zkocgbnr-nd.html

寫在最後

寫這個的時候忽然就想起來以前\(lyq\)寫的博客：

比較有趣，建議閱讀

雖然是一年前寫的，但如今仍然不朽/xl