網絡流亂記

不會咕！

基本概念

下面是一些概念，理解便可，不需強記。

網絡流圖

一個網絡流圖是一個沒有自環的有向連通圖，知足：

• 只有一個入度爲 \(0\) 的點 \(S\)，稱爲源點；
• 只有一個出度爲 \(0\) 的點 \(T\)，稱爲匯點；
• 每條邊 \((i,j)\) 有一個非負實數權值 \(c_{i,j}\)，稱爲該邊的容量

允許流

允許流，又叫可行流.

在網絡流圖中，對於每條邊 \(e=(i,j)\) 給定實數 \(f_e\)， 若是知足：

• 每一條邊的容量 \(f_e\le c_e\)；

• 流量平衡：對於任意 \(x\ne S, T\)，\(\sum\limits_{e=(x,i)}f_e=\sum\limits_{e=(i,x)}f_e\)；

• 對於源點 \(S\) 和匯點 \(T\) 有：\(\sum\limits_{e=(S,i)}f_e=\sum\limits_{e=(i,T)}f_e=W\)

  即源點流進去多少，匯點就會流出多少，不會有流量的損失.

則稱這一組 \(f\) 爲該網絡的一個允許流，\(W\)稱爲他的流量。

最大流

一個容量 \(W\) 最大的允許流 。

可增廣路

可增廣路，又叫可改進路.

介紹這個概念以前，先看看幾個別的概念：

給定一個允許流 \(f\) 。

• 若對於一條邊 \((i,j)\) 有 \(f_{i,j}=c_{i,j}\)，則稱 \((i,j)\) 爲飽和弧，不然稱非飽和弧；
• 若對於一條邊 \((i,j)\) 有 \(f_{i,j}=0\)，則稱 \((i,j)\) 爲零流弧，不然稱非零流弧；
• 定義一條道路 \(P\)，起點是 \(S\)，終點是 \(T\)。把 \(P\) 上全部與 \(P\) 方向一致的弧稱爲正向弧 ，正向弧的全體記爲 \(P^+\)；把 \(P\) 上全部與 \(P\) 方向相悖的弧稱爲反向弧，反向弧的全體記爲 \(P^-\)

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給定一個允許流 \(f\)，\(P\) 是從 \(S\) 到 \(T\) 的一條道路，若是知足：

• \(f_{i,j}\) 是非飽和弧，且 \((i,j)\in P^+\)；
• 或 \(f_{i,j}\) 是非零流弧，且 \((i,j)\in P^-\)

那麼就稱 \(P\) 是 \(f\) 的一條可增廣路，之因此稱爲」可增廣路「，是由於可改進路上弧的流量經過必定的規則修改，能夠使整個流量放大。

最大流算法

基本思路：不斷嘗試尋找增流路徑，增長允許流的流量，直到沒法增長爲止，此過程稱爲增廣過程

Ford-Fulkerson 標號方法

簡介

\(\text{Ford-Fulkerson}\)，一種迭代算法，先對圖中全部頂點對的流清零（此時網絡流大小也爲 \(0\)）。在每次迭代中，經過尋找一條增廣路徑來增長流的值，一直迭代到沒法再找到增廣路徑爲止。

概念：殘留網路

剩餘的容量+反向平衡的流量共同構成了殘留網絡。

EK算法

SAP算法

Dinic算法

最小費用最大流

題……

寫在最後

感謝 ACM大神 dengsiyu 和 XLightGod 大神的講課！

參考資料：