線性代數基礎

【轉載】線性代數基礎知識
原文地址：http://blog.csdn.net/longxinchen_ml/article/details/51629328

做者：Zico Kolter (補充： Chuong Do)

時間：2016年6月

翻譯：@MOLLY（mollyecla@gmail.com） @OWEN（owenj1989@126.com）

校訂：@寒小陽(hanxiaoyang.ml@gmail.com) @龍心塵(johnnygong.ml@gmail.com)

出處：http://blog.csdn.net/han_xiaoyang/article/details/51629242

http://blog.csdn.net/longxinchen_ml/article/details/51629328

聲明：版權全部，轉載請聯繫做者並註明出處

1基本概念和符號
線性代數能夠對一組線性方程進行簡潔地表示和運算。例如，對於這個方程組:

這裏有兩個方程和兩個變量，若是你學太高中代數的話，你確定知道，能夠爲x1 和x2找到一組惟一的解 (除非方程能夠進一步簡化，例如，若是第二個方程只是第一個方程的倍數形式。可是顯然上面的例子不可簡化，是有惟一解的)。在矩陣表達中，咱們能夠簡潔的寫做:

其中：

很快咱們將會看到，我們把方程表示成這種形式，在分析線性方程方面有不少優點(包括明顯地節省空間)。

1.1基本符號
如下是咱們要使用符號:

符號A ∈ Rm×n表示一個m行n列的矩陣，而且矩陣A中的全部元素都是實數。
符號x ∈ Rn表示一個含有n個元素的向量。一般，咱們把n維向量當作是一個n行1列矩陣，即列向量。若是咱們想表示一個行向量（1行n列矩陣），咱們一般寫做xT (xT表示x的轉置，後面會解釋它的定義)。
一個向量x的第i個元素表示爲xi：

咱們用aij (或Aij，Ai，j，等) 表示第i行第j列的元素：

咱們用aj 或A:，j表示A矩陣的第j列元素：

咱們用aT i或 Ai，:表示矩陣的第i行元素:

請注意，這些定義都是不嚴格的（例如，a1和a1T在前面的定義中是兩個不一樣向量）。一般使用中，符號的含義應該是能夠明顯看出來的。
2 矩陣乘法
矩陣 A ∈ Rm×n 和B ∈ Rn×p 的乘積爲矩陣 ：

其中：

.請注意，矩陣A的列數應該與矩陣B的行數相等，這樣才存在矩陣的乘積。有不少種方式能夠幫助咱們理解矩陣乘法，這裏咱們將經過一些例子開始學習。

2.1向量的乘積
給定兩個向量x，y ∈ Rn，那麼xT y的值，咱們稱之爲向量的內積或點積。它是一個由下式獲得的實數：

.

能夠發現，內積其實是矩陣乘法的一個特例。一般狀況下xT y = yT x。

對於向量x ∈ Rm， y ∈ Rn（大小沒必要相同），xyT ∈ Rm×n稱爲向量的外積。外積是一個矩陣，其中中的每一個元素，均可以由獲得，也就是說，

咱們舉個例子說明外積有什麼用。令1 ∈ Rn 表示全部元素都是1的n維向量，而後將矩陣 A ∈ Rm×n 的每一列都用列向量x ∈ Rm表示。使用外積，咱們能夠將A簡潔的表示爲：

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