揹包問題--動態規劃

揹包問題

     0-1揹包問題涉及最值的獲取，普通的測試方法很可貴到結果，須要採動態規劃方法。公式以下:

   

其中，c[i,w]表示在包含了i物品的狀況下揹包承重爲w下揹包的最大價值。若是物品i重量大於w，直接跳過；若是物品i重量小於w，分爲兩種狀況：

   （1）i物品裝入，則要判斷剩餘i-1個物品在重量爲w-wi前提下最大價值+i物品自己價值；

   （2）i物品不裝入，判斷剩餘i-1物品在質量爲w下最大價值，這是解題的關鍵；

題目描述：

有編號分別爲a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，如今給你個承重爲10的揹包，如何讓揹包裏裝入的物品具備最大的價值總和？

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

表格生成過程是從下至上，從左到右的，d2含義：只有物品d時，有個承重爲2的揹包，那麼這個揹包的最大價值是0，由於d物品的重量是5.

下面說說a8推理過程以下：表格來自：http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810

   (1)因爲物體a質量2<8,所以根據推導公式判斷b8和 b6+6(value)兩者取大值

  （2）由表可知，b8=9，b6=9, b6+6(value)=15,因此取值15；

其它取值過程相似。

代碼實現以下：

   

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int c[200][200];//前i個物品裝入容量爲j的揹包中得到的最大價值
 4 int max(int a,int b)
 5 {
 6    if(a>=b)
 7        return a;
 8    else return b;
 9 }
10 
11 int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)//w 物品的重量 v物品的價值  x 物品的選取狀態 C揹包最大容量
12 {
13     int i,j;
14     for(i=0;i<=n;i++)
15         c[i][0]=0;
16     for(j=0;j<=C;j++)
17         c[0][j]=0;
18     for(i=0;i<=n-1;i++)
19         for(j=0;j<=C;j++)
20             if(j<w[i])//i物品重量超過j
21                c[i][j]=c[i-1][j];
22             else
23                 c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i-1][j-w[i]]+v[i]);//不選用i物品和選用i物品之間選最大的
24             j=C;
25             for(i=n-1;i>=0;i--)
26             {
27               if(c[i][j]>c[i-1][j])//選用i物品
28               {
29                 x[i]=1;
30                 j=j-w[i];
31               }
32             else
33                 x[i]=0;
34             }
35        cout<<"the select ting:"<<endl;
36             for(i=0;i<n;i++)
37               cout<<x[i]<<" ";
38              cout<<endl;
39         return c[n-1][C];
40 
41 }
42 
43 int main()
44 {
45     int s;//得到的最大價值
46     int w[15];//物品的重量
47     int v[15];//物品的價值
48     int x[15];//物品的選取狀態
49     int n,i;
50     int C;//揹包最大容量
51     cout<<"enter the max weight:C=";
52     cin>>C;
53     cout<<"enter the number :n=";
54     cin>>n;
55    cout<<"enter the weight of n thing:";
56     for(i=0;i<n;i++)
57           cin>>w[i];
58  cout<<"enter the value of n thing:";
59     for(i=0;i<n;i++)
60          cin>>v[i];
61     s=KnapSack(n,w,v,x,C);
62  cout<<"the max value:"<<s;
63 return 0;
64 
65 }

 

  測試結果以下所示：

   

總結

揹包問題關鍵在於動態規劃，動態規劃關鍵在於公式的理解與掌握，加上實踐。