算法的時間複雜度與空間複雜度

關注公衆號 MageByte，設置星標獲取最新干貨。公衆號後臺回覆 「加羣」 進入技術交流羣獲更多技術成長。

前面咱們說了算法的重要性數據結構與算法開篇，今天咱們就開始學習如何分析、統計算法的執行效率和資源消耗呢？請看本文一一道來。

數據結構和算法本生解決的就是「快」和「省」的問題，那就是如何讓代碼跑得快，還能節省存儲空間。打造一臺法拉利，不只跑得快還省油，擁有好的算法與數據結構，程序跑得快，還省內存而且長時間運行也不會出故障，就像跑車長時間運行車子也不會出現異常「車震」，同時還快。因此趕忙上車，一塊兒學習數據結構與算法，趕忙上車「穩穩」的學會如何檢測跑車到底快不快，省油不省油。

這裏就要用到咱們今天要講的內容：時間、空間複雜度分析。只要講到數據結構與算法，就必定離不開時間、空間複雜度分析。複雜度分析是整個算法學習的精髓，只要掌握了它，數據結構和算法的內容基本上就掌握了一半。這就就像內功心法，上乘武功還需搭配牛逼心法。

只有學會了檢測標準才能在設計的時候心中按照標準來編寫打造咱們的「法拉利」代碼。

爲什麼須要複雜度分析

可能會有些疑惑，我把代碼跑一遍，經過統計、監控，就能獲得算法執行的時間和佔用的內存大小。爲何還要作時間、空間複雜度分析呢？這種分析方法能比我實實在在跑一遍獲得的數據更準確嗎？

這種屬於非要本身去嘗試，沒有根據合理方法預測咱們要的就是像算命大師同樣預先知道。不少數據結構和算法書籍還給這種方法起了一個名字，叫過後統計法。可是，這種統計方法有很是大的侷限性。

1. 測試結果很是依賴測試環境

測試環境中硬件的不一樣會對測試結果有很大的影響。好比，咱們拿一樣一段代碼，分別用 Intel Core i7 處理器和 Intel Core i3 處理器來運行，不用說，i7 處理器要比 i3 處理器執行的速度快不少。

就好像同一輛車放在深圳北環大道與我家農村小山溝跑是不同的。

2.測試結果受數據規模的影響很大

後面咱們會講排序算法，咱們先拿它舉個例子。對同一個排序算法，待排序數據的有序度不同，排序的執行時間就會有很大的差異。

極端狀況下，若是數據已是有序的，那排序算法不須要作任何操做，執行時間就會很是短。除此以外，若是測試數據規模過小，測試結果可能沒法真實地反應算法的性能。

好比，對於小規模的數據排序，插入排序可能反倒會比快速排序要快！

因此，咱們須要一個不用具體的測試數據來測試，就能夠粗略地估計算法的執行效率的方法。這就是咱們今天要講的時間、空間複雜度分析方法。

大 O 複雜度表示法

算法的執行效率，粗略地講，就是算法代碼執行的時間。可是，如何在不運行代碼的狀況下，用「肉眼」獲得一段代碼的執行時間呢？就像檢測車子馬力與油耗似的。

求 1,2,3…n 的累加和。如今，一塊兒估算一下這段代碼的執行時間。

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

從 CPU 的角度來看，這段代碼的每一行都執行着相似的操做：讀數據-運算-寫數據。儘管每行代碼對應的 CPU 執行的個數、執行的時間都不同，可是，咱們這裏只是粗略估計，因此能夠假設每行代碼執行的時間都同樣，爲 unit_time單位時間。

在這個假設的基礎之上，這段代碼的總執行時間是多少呢？

第 二、3 行代碼分別須要 1 個 unit_time 的執行時間，第 四、5 行都運行了 n 遍，因此須要 2n*unit_time 的執行時間，因此這段代碼總的執行時間就是 (2n+2)*unit_time。能夠看出來，全部代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數成正比。

咱們繼續分析下面這段代碼

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }

咱們依舊假設每一個語句的執行時間是 unit_time。那這段代碼的總執行時間 T(n) 是多少呢？

第 二、三、4 行代碼，每行都須要 1 個 unit_time 的執行時間，第 五、6 行代碼循環執行了 n 遍，須要 2n * unit_time 的執行時間，第 七、8 行代碼循環執行了 n^2^遍，因此須要 2n^2^ unit_time 的執行時間。因此，整段代碼總的執行時間 T(n) = (2n^2^+ 2n + 3)unit_time。

儘管咱們不知道 unit_time 的具體值，可是經過這兩段代碼執行時間的推導過程，咱們能夠獲得一個很是重要的規律，那就是，==全部代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數 n 成正比==。

咱們能夠把這個規律總結成一個公式。注意，大 O 就要登場了！

$T(n) = O(f(n))$

其中，$$T(n)$$ 咱們已經講過了，它表示代碼執行的時間；n 表示數據規模的大小；$$f(n)$$ 表示每行代碼執行的次數總和。由於這是一個公式，因此用$f(n)$ 來表示。公式中的 O，表示代碼的執行時間 T(n) 與 f(n) 表達式成正比。

因此，第一個例子中的 $T(n) = O(2n+2)$，第二個例子中的 T(n) = O(2n^2^+2n+3)。這就是大 O 時間複雜度表示法。

大 O 時間複雜度實際上並不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增加的變化趨勢，因此，也叫做漸進時間複雜度（asymptotic time complexity），簡稱時間複雜度。敲黑板了，表達的是變化趨勢，並非真正的執行時間。

當 n 很大時，你能夠把它想象成 100000、1000000。而公式中的==低階、常量、係數==三部分並不左右增加趨勢，因此均可以忽略。咱們只須要記錄一個最大量級就能夠了，若是用大 O 表示法表示剛講的那兩段代碼的時間複雜度，就能夠記爲：$$T(n) = O(n)$$； $$T(n) = O(n^2)$$。

時間複雜度分析

前面介紹了大 O 時間複雜度的由來和表示方法。如今咱們來看下，如何分析一段代碼的時間複雜度？有三個比較實用的方法能夠分享。

1. 只關注循環執行次數最多的一段代碼

大 O 這種複雜度表示方法只是表示一種變化趨勢。咱們一般會忽略掉公式中的常量、低階、係數，只須要記錄一個最大階的量級就能夠了。因此，咱們在分析一個算法、一段代碼的時間複雜度的時候，也只關注循環執行次數最多的那一段代碼就能夠了。擒賊先擒王就是這麼回事。

這段核心代碼執行次數的 n 的量級，就是整段要分析代碼的時間複雜度。

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

其中第 二、3 行代碼都是常量級的執行時間，與 n 的大小無關，因此對於複雜度並無影響。

循環執行次數最多的是第 四、5 行代碼，因此這塊代碼要重點分析。前面咱們也講過，這兩行代碼被執行了 n 次，因此總的時間複雜度就是 O(n)。

2. 加法法則：總複雜度等於量級最大的那段代碼的複雜度

看以下代碼能夠先試着分析一下，而後再往下看跟個人分析思路是否同樣。

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }

   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }

   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

這個代碼分爲三部分，分別是求 sum_一、sum_二、sum_3。咱們能夠分別分析每一部分的時間複雜度，而後把它們放到一起，再取一個量級最大的做爲整段代碼的複雜度。

• 第一段的時間複雜度是多少呢？這段代碼循環執行了 100 次，因此是一個常量的執行時間，跟 n 的規模無關。
• 這裏我要再強調一下，即使這段代碼循環 10000 次、100000 次，只要是一個已知的數，跟 n 無關，照樣也是常量級的執行時間。當 n 無限大的時候，就能夠忽略。儘管對代碼的執行時間會有很大影響，可是回到時間複雜度的概念來講，它表示的是一個算法執行效率與數據規模增加的變化趨勢，因此無論常量的執行時間多大，咱們均可以忽略掉。由於它自己對增加趨勢並無影響。
• 那第二段代碼和第三段代碼的時間複雜度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n^2^)，你應該能容易就分析出來，我就不囉嗦了。

綜合這三段代碼的時間複雜度，咱們取其中最大的量級。因此，整段代碼的時間複雜度就爲 O(n^2^)。也就是說：總的時間複雜度就等於量級最大的那段代碼的時間複雜度。那咱們將這個規律抽象成公式就是：

若是 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n)))

3. 乘法法則：嵌套代碼的複雜度等於嵌套內外代碼複雜度的乘積

剛剛說了一個加法原則，這裏說的乘法原則，以此類推，你也應該能「猜到」公式。這個是效率最差的

若是 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼 T(n)=T1(n)T2(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

也就是說，假設 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，則 $$T1(n) * T2(n) = O(n^3)$$。落實到具體的代碼上，咱們能夠把乘法法則當作是嵌套循環

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for(x=1; i <= n; x++){
       for(i = 1; i <= n; i++) {
           j = i;
           j++;
        }
    }
 }

咱們單獨看 cal() 函數。假設 5-8行的 只是一個普通的操做，那第 4 行的時間複雜度就是，T1(n) = O(n)。但 5-8 函數自己不是一個簡單的操做，它的時間複雜度是 T2(n) = O(n)，因此，整個 cal() 函數的時間複雜度就是，$$T(n) = T1(n) T2(n) = O(nn) = O(n^2)$$。

幾種常見時間複雜度實例

雖然代碼千差萬別，可是常見的複雜度量級並很少。老弟稍微總結了一下，這些複雜度量級幾乎涵蓋了從此能夠接觸的全部代碼的複雜度量級。

劃重點了同窗們。

1. 常量階 $O(1)$
2. 對數階 $O(logn)$
3. 線性階 $O(n)$
4. 線性對數階 $O(nlogn)$
5. 平方階 O(n^2^)、立方階 O(n^3^)…..k 次方階 O(n^k^)
6. 指數階 O(2^n^)
7. 階乘階 O(n!)

對於剛羅列的複雜度量級，咱們能夠粗略地分爲兩類，多項式量級和非多項式量級。其中，非多項式量級只有兩個：$$O(2^n) $$和 O(n!)。

當數據規模 n 愈來愈大時，非多項式量級算法的執行時間會急劇增長，求解問題的執行時間會無限增加。因此，非多項式時間複雜度的算法實際上是很是低效的算法。所以，關於 NP 時間複雜度我就不展開講了。

咱們主要來看幾種常見的多項式時間複雜度。

1. O(1) 之一擊必殺

首先咱們必須明確一個概念，O(1) 只是常量級時間複雜度的一種表示方法，並非指只執行了一行代碼。好比這段代碼，即使有 3 行，它的時間複雜度也是 O(1），而不是 O(3)。

int a = 1;
int b = 2;
int c = 3;

咱們的 HashMap get()、put() 其實就是 O(1) 時間複雜度。

只要代碼的執行時間不隨 n 的增大而增加，這樣代碼的時間複雜度咱們都記做 O(1)。或者說，通常狀況下，只要算法中不存在循環語句、遞歸語句，即便有成千上萬行的代碼，其時間複雜度也是Ο(1)。

2. O(logn)、O(nlogn)

對數階時間複雜度很是常見，同時也是最難分析的一種時間複雜度。

i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

根據咱們前面講的複雜度分析方法，第三行代碼是循環執行次數最多的。因此，咱們只要能計算出這行代碼被執行了多少次，就能知道整段代碼的時間複雜度。

從代碼中能夠看出，變量 i 的值從 1 開始取，每循環一次就乘以 2。當大於 n 時，循環結束。還記得咱們高中學過的等比數列嗎？實際上，變量 i 的取值就是一個等比數列。若是我把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：

$$2^0 2^1 2^2 ……..2^x = n$$

因此，咱們只要知道 x 值是多少，就知道這行代碼執行的次數了。經過 2^x^=n 求解 x 這個問題咱們想高中應該就學過了，我就很少說了。x=log~2~n，因此，這段代碼的時間複雜度就是 O(log~2~n)。

我把代碼稍微改下，這段代碼的時間複雜度是多少？

i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

很簡單就能看出來，這段代碼的時間複雜度爲 O(log~3~n)。

實際上，無論是以 2 爲底、以 3 爲底，仍是以 10 爲底，咱們能夠把全部對數階的時間複雜度都記爲 O(logn)。爲何呢？

咱們知道，對數之間是能夠互相轉換的，log3n 就等於 log~3~2 log~2~n，因此 O(log~3~n) = O(C log~2~n)，其中 C=log~3~2 是一個常量。基於咱們前面的一個理論：在採用大 O 標記複雜度的時候，能夠忽略係數，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。因此，O(log~2~n) 就等於 O(log~3~n)。所以，在對數階時間複雜度的表示方法裏，咱們忽略對數的「底」，統一表示爲 O(logn)。

若是你理解了我前面講的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。還記得咱們剛講的乘法法則嗎？若是一段代碼的時間複雜度是 O(logn)，咱們循環執行 n 遍，時間複雜度就是 O(nlogn) 了。並且，O(nlogn) 也是一種很是常見的算法時間複雜度。好比，歸併排序、快速排序的時間複雜度都是 O(nlogn)。

以下所示就是$O(nlogN)$ , 內部 while循環是 O(logn) ,被外層 for 循環包起來。因此 就是 O(nlogn)

for(m = 1; m < n; m++) {
    i = 1;
    while(i < n) {
        i = i * 2;
    }
}

3. O(m+n)、O(m*n)

咱們再來說一種跟前面都不同的時間複雜度，代碼的複雜度由兩個數據的規模來決定。

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

從代碼中能夠看出，m 和 n 是表示兩個數據規模。咱們沒法事先評估 m 和 n 誰的量級大，因此咱們在表示複雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中一個。因此，上面代碼的時間複雜度就是 O(m+n)。

針對這種狀況，原來的加法法則就不正確了，咱們須要將加法規則改成：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。可是乘法法則繼續有效：T1(m)T2(n) = O(f(m) f(n))。

4.線性階O(n)

看這段代碼會執行多少次呢？

for(i=1; i<=n; i++) {
   j = i;
   j++;
}

第1行會執行 n 次，第2行和第3行會分別執行n次，總的執行時間也就是 3n + 1 次，那它的時間複雜度表示是 O(3n + 1) 嗎？ No !

仍是那句話：「大O符號表示法並非用於來真實表明算法的執行時間的，它是用來表示代碼執行時間的增加變化趨勢的」。

因此它的時間複雜度實際上是O(n);

平方階O(n²)

for(x=1; i <= n; x++){
   for(i = 1; i <= n; i++) {
       j = i;
       j++;
    }
}

把 O(n) 的代碼再嵌套循環一遍，它的時間複雜度就是 O(n²) 了。

立方階O(n³)、K次方階O(n^k^)

參考上面的O(n²) 去理解就行了，O(n³)至關於三層n循環，其它的相似。

空複雜度分析

理解了前面講的內容，空間複雜度分析方法學起來就很是簡單了。

時間複雜度的全稱是漸進時間複雜度，表示算法的執行時間與數據規模之間的增加關係。類比一下，空間複雜度全稱就是漸進空間複雜度，表示算法的存儲空間與數據規模之間的增加關係。

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }
}

跟時間複雜度分析同樣，咱們能夠看到，第 2 行代碼中，咱們申請了一個空間存儲變量 i，可是它是常量階的，跟數據規模 n 沒有關係，因此咱們能夠忽略。第 3 行申請了一個大小爲 n 的 int 類型數組，除此以外，剩下的代碼都沒有佔用更多的空間，因此整段代碼的空間複雜度就是 O(n)。

打個不恰當的比喻，就像咱們的手機如今工藝愈來愈好，手機也愈來愈薄。佔用體積愈來愈小。也就是用更好的模具設計放置零件，而模具就像是空間複雜度更小的體積容納更多的原件。

咱們常見的空間複雜度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 這樣的對數階複雜度平時都用不到。並且，空間複雜度分析比時間複雜度分析要簡單不少。因此，對於空間複雜度，掌握剛我說的這些內容已經足夠了。

空間複雜度 O(1)

若是算法執行所須要的臨時空間不隨着某個變量n的大小而變化，即此算法空間複雜度爲一個常量，可表示爲 O(1)。

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

代碼中的 i、j、m 所分配的空間都不隨着處理數據量變化，所以它的空間複雜度 S(n) = O(1)。

空間複雜度 O(n)

int[] m = new int[n]
for(i=1; i <= n; ++i) {
   j = i;
   j++;
}

這段代碼中，第一行new了一個數組出來，這個數據佔用的大小爲n，後面雖然有循環，但沒有再分配新的空間，所以，這段代碼的空間複雜度主要看第一行便可，即 S(n) = O(n)。

總結

基礎複雜度分析的知識到此就講完了，咱們來總結一下。

複雜度也叫漸進複雜度，包括時間複雜度和空間複雜度，用來分析算法執行效率與數據規模之間的增加關係，能夠粗略地表示，越高階複雜度的算法，執行效率越低。

常見的複雜度並很少，從低階到高階有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2^ )。等學完整個專欄以後，就會發現幾乎全部的數據結構和算法的複雜度都跑不出這幾個。

有人說，咱們項目以前都會進行性能測試，再作代碼的時間複雜度、空間複雜度分析，是否是畫蛇添足呢？並且，每段代碼都分析一下時間複雜度、空間複雜度，是否是很浪費時間呢？你怎麼看待這個問題呢？

歡迎加羣與咱們分享，咱們第一時間反饋。關注公衆號MageByte ，後臺回覆 加羣 便可。羣內有一線互聯網公司工做的大佬，相互學習，走向巔峯。

---

參考文獻

1. 《數據結構與算法之美》