聊聊算法的時間複雜度與空間複雜度

複雜度的概念

算法是一段執行的程序, 能夠理解成幾行代碼，或者一個方法; 算法的時間複雜度是指這段代碼須要消耗的時間資源；算法的空間複雜度是指這段代碼須要消耗的空間資源(空間資源一般是指佔用的內存)。

大O複雜度表示法

一般咱們在討論一個算法時會說，這個算法時間複雜度是O(), 那個O()。而這個O()、O()就是大O複雜度表示法。這個和 具體是怎麼來的呢，下面簡單舉個例子：

int cal(int n) { 
  int sum = 0;									(1)
  for(int i = 1;i <= n; ++i){ 	(2)
    sum = sum + i;							(3)
  }															(4)
  return sum;									
}  
複製代碼

上面的代碼是計算 1， 2， 3… n 的和一個方法，咱們假設每一行代碼cpu的時間都是相同的，每一行代碼執行時間爲run_time, 那這段代碼的總執行時間 T(n) 是多少 ? 第1行爲run_time, 第2行和第3行代碼循環n次，時間爲2 * n * run_time。全部總時間：

T(n) = （2 * n + 1）* run_time
複製代碼

根據規律，能夠總結成一個公式:

T(n) = O (f(n))
複製代碼

因此, 上面的O()、O()例子中， 以及 。 中run_time是常數, 當n足夠大, 公式中的低階、常量、係數均可以忽略不計，全部這段計算 1， 2， 3… n總和的代碼時間複雜度是O()。

常見時間複雜度有：

下面在舉個空間複雜度的例子：

void print(int n){
  int i = 0;							 (1)
  int[] arr = new int[n];  (2)
  int j = 0;							 (3)
}
複製代碼

第1行和第3行代碼中都是分別申請了一個空間存儲變量, 都有數據規模n無關，全部能夠忽略，第2行中申請了數量爲n的數組空間。全部整段代碼的空間複雜度是。

常見空間複雜度有:

掌握算法的時間複雜度與空間複雜度有什麼用

首先，對比幾個算法的好壞須要結合使用場景，好比數據量，內存，數據特徵等。一樣一段代碼，在不一樣機器上運行速度也是不一樣的。一般比較幾個算法的性能，就須要在同一個機器，同一批數據，同一個環境下去運行對比測試它們所須要的運行時間。

可是，但開發者是使用或者選擇一個算法時，一般是沒辦法精準的對比算法的優劣，而且時間成本也不容許。全部咱們須要一個不用具體數據來測試, 就能夠粗略估算出算法的執行效率, 這就是算法的時間複雜度與空間複雜度做用啦。

最好、最壞狀況時間複雜度

什麼狀況下，一段代碼會出現有最好、最壞的狀況呢; 舉個例子， 好比在一個長度爲n的整數數組中去找一個數，找到就立馬返回數組的下表。在循環查找的過程當中，最好的狀況就是數組第一個就要找的，全部最好狀況時間複雜度爲; 若是數組最後一個是要找的, 這時就是最壞的狀況，最壞狀況時間複雜度爲。

平均狀況時間複雜度

像上面一個例子，在一個長度爲n的整數數組中去找一個數, 有最好和最壞狀況，最好、最壞狀況時間複雜度沒法衡量一段代碼的執行效率，這時就須要用到平均狀況時間複雜度。平均=全部狀況總和/總次數。

那麼平均狀況時間複雜度怎麼算出來呢，要找的數要麼在數組裏，要麼不在，假設在與不在的機率是, 查找的數出如今0 ~ n-1 的位置機率是同樣的，爲, 全部查找的數在數組裏機率爲。總過程爲：

去掉常量，複雜度爲O(n)。

均攤時間複雜度

均攤時間複雜度就是一種特殊的平均時間複雜度，只能在特殊的場景才能是使用。很少說，舉個例子，會java的對容器arraylist不陌生吧，arraylist有個默認長度的數組，add方法裏，若是數組長度不夠，是須要擴容的。下面以一段add方法僞代碼爲例:(爲了代碼簡單易懂，以添加int爲例)

int arr[] = new int[10]; //初始默認長度爲10
int len = 10;
int index = 0;

void add(int element){
  if(index >= len){  // 超出長度，數組須要擴容，並複製值到一個新數組裏
    final int newLen = len * 2;
    int new_arr[] = new int[newLen]; //申請2倍的數組
    for (int i = 0; i < len; ++i){
      new_arr[i] = arr[i];
		}
    arr = new_arr;
    len = newLen;
  }
  arr[index] = element;
  ++index;
}
複製代碼

當不擴容時, 這個add方法時間複雜度就是, 當擴容時, if裏面複製到新數組須要遍歷一次，

int arr[] = new int[10]; //初始默認長度爲10
int len = 10;
int index = 0;

void add(int element){
  if(index >= len){  // 超出長度，數組須要擴容，並複製值到一個新數組裏
    final int newLen = len * 2;
    int new_arr[] = new int[newLen]; //申請2倍的數組
    for (int i = 0; i < len; ++i){
      new_arr[i] = arr[i];
    }
    arr = new_arr;
    len = newLen;
  }
  arr[index] = element;
  ++index;
}
複製代碼

當不擴容時, 這個add方法時間複雜度就是, 當擴容時, if裏面複製到新數組須要遍歷一次，

int arr[] = new int[10]; //初始默認長度爲10
int len = 10;
int index = 0;

void add(int element){
  if(index >= len){  // 超出長度，數組須要擴容，並複製值到一個新數組裏
    final int newLen = len * 2;
    int new_arr[] = new int[newLen]; //申請2倍的數組
    for (int i = 0; i < len; ++i){
      new_arr[i] = arr[i];
    }
    arr = new_arr;
    len = newLen;
  }
  arr[index] = element;
  ++index;
}
複製代碼

當不擴容時, 這個add方法時間複雜度就是O(1), 當擴容時, if裏面複製到新數組須要遍歷一次，數組默認長度假設是n, 擴容時的時間複雜度是O(n)。平均狀況時間複雜度是多少呢，若是像上一個例子用機率論去計算也是能夠，可是麻煩。咱們假設須要添加11個數，添加第11個數時須要擴容，循環10次把前10個數複製到新的數組中而後把第11個數添加進去。添加前10個數時間複雜度都是O(1), 若是把擴容時循環10次分攤到添加前10個數操做中，那麼添加前10個數操做都只是都運行了一行代碼而已，仍是常量級別的，全部這個add方法的平均時間複雜度就是O(1)。 經過分攤分析時間複雜度就叫作均攤時間複雜度。