圖論 筆記

目錄

• 圖論 筆記
  • 度數序列
  • Havel–Hakimi算法
  • Erdős–Gallai定理
  • 歐拉路與歐拉回路
    • 題目
  • Prufer序列
    • 無根樹轉\(Prufer\)序列
    • \(Prufer\)序列轉有根樹
    • 生成樹計數
    • 題目
  • Matrix-Tree定理
    • 題目
  • 最小生成樹 Borůvka算法
    • 題目
  • 最小瓶頸生成樹
  • 單源最短路(SSSP)
    • 一些變種
    • 關於判負環
  • 差分約束
    • 題目
  • 多源最短路(APSP)
    • \(Johnson\)算法
  • 半徑 直徑 (正權圖)
    • 絕對中心
    • 最小直徑生成樹
  • 拓撲排序
    • 求字典序最小的拓撲序
    • 最小拓撲序的一個變種
    • 題目
  • 二分圖匹配
    • Hall's marriage theorem（霍爾定理）
    • Kőnig's theorem
    • DAG最小路徑覆蓋
    • 題目
  • 連通份量
    • 強連通份量
    • 雙聯通份量
    • 割點和橋
    • 題目
  • 2-SAT
    • 題目
  • 曼哈頓距離與切比雪夫距離

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圖論 筆記

有些東西不知道有什麼用...但既然dls講了就記記吧。不少東西來自國慶正睿 dls課件。
把之前的寫的合併到一篇了。
也能夠看這兒。

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度數序列

對於無向圖，\(d_1,d_2,...,d_n\)爲每一個點的度數。
有\(d_1+d_2+...+d_n=2e\)（每條邊被計算兩次）。
有偶數個度數爲奇數的點。

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Havel–Hakimi算法

給定一個由有限多個非負整數組成的度數序列，是否存在一個簡單圖使得其度數序列恰爲這個序列。
令\(S=(d_1,d_2,...,d_n)\)爲有限多個非負整數組成的非遞增序列。
\(S\)可簡單圖化當且僅當有窮序列\(S’=(d_2-1,d_3-1,...,d_{d_1+1}-1,d_{d_1+2},...,d_n)\)只含有非負整數且是可簡單圖化的。
序列\(S\)可簡單圖化是指存在一個無向圖（無重邊無自環），使得其度數序列恰爲\(S\)。
（這個其實就是很顯然的東西。。主要是一個定義）

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Erdős–Gallai定理

令\(S=(d_1,d_2,...,d_n)\)爲有限多個非負整數組成的非遞增序列。
\(S\)可簡單圖化當且僅當這些數字的和爲偶數，且\[\sum_{i=1}^kd_i\leq k(k-1)+\sum_{i=k+1}^n\min(d_i,k)\]

對於任意\(1\leq k\leq n\)都成立。
也不難理解。對前\(k\)個點分配度數，除了兩兩能連\(\frac{k(k-1)}{2}\)條邊外，剩下的度數由後面點的度數補。
由於\(d_i\)非遞增，從小到大枚舉\(k\)，維護\(d_i\)後綴與\(k\)取\(\min\)的和（\(d_i,k\)都是單調的，維護從哪開始\(\min(d_i,k)\)的結果是\(d_i\)）。就能夠\(O(n)\)判斷了。

例題：Good Bye 2018 E（居然真的遇到了），NEERC2013 K.Kids in a Friendly Class。

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歐拉路與歐拉回路

給定一張無向/有向圖，求一條通過全部邊剛好一次的迴路。
有解當且僅當全部點 度數爲偶數(無向)/入度等於出度(有向)。
任選一點開始dfs，每條邊只通過一次。回溯時將回溯的邊加入隊列，最後隊列的逆序就是答案。
時間複雜度 \(O(m)\).
歐拉路徑也能夠用同樣的方法求出（找度數爲奇數的點進行DFS）。

歐拉回路：有向圖：全部點的出度入度都相等；從任意一點均可實現。
　　　　　無向圖：全部點度數都爲偶數。
歐拉路：有向圖：有兩個點能夠入度出度不相等（差不大於一），即起點終點；起點入度小於出度，終點入度大於出度 。
　　　　無向圖：僅有兩個點度數爲奇數。
注：必須爲連通圖（用並查集判斷）。
兩筆畫問題：
有解當且僅當入度爲奇數的點不超過四個。
將其中兩個點加一條邊後求歐拉路徑，而後在這條邊處斷開成兩條歐拉路便可。
時間複雜度 \(O(m)\).

題目

UOJ.117(模板)、題集。

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Prufer序列

這個很全啊，能夠看這兒。
Defination：
　　Prufer序列是一種無根樹的編碼表示。
　　對於一棵\(n\)個點的無根樹，對應惟一一串長度爲\(n-2\)的\(Prufer\)序列。

無根樹轉\(Prufer\)序列

　　定義無根樹中度數爲\(1\)的節點是葉子節點，每次找到編號最小的葉節點刪除，在序列中添加與之相鄰的點。如此重複直到剩下最後兩個節點。

　　上圖對應無根樹的\(Prufer\)序列爲\(3,5,1,3\)。

\(Prufer\)序列轉有根樹

　　給定點集\(G={1,2,\ldots,n}\)，\(Prufer\)序列\([a_1,a_2,\ldots,a_{n-2}]\)。
　　每次取出\(Prufer\)序列中的第一個元素\(x_i\)，在\(G\)中找在當前\(Prufer\)序列中沒有出現的第一個元素\(y_i\)，在\(x_i\)和\(y_i\)間連一條邊；將\(x_i\)從\(Prufer\)序列中刪除，\(y_i\)從\(G\)中刪除。
　　最後\(G\)中還剩下\(2\)個元素，在這\(2\)個元素間連一條邊。

生成樹計數

Cayley定理：徹底圖的生成樹個數爲\(n^{n-2}\)。
若是每一個點的度數爲\(d_i\)，那麼生成樹個數爲\(\frac{(n-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!...(d_n-1)!}\)。
每一個連通塊大小爲\(a_i\)，那麼添加一些邊將這些連通塊連通的生成樹個數爲\(a_1\times a_2\times...\times a_n\times(a_1+a_2+...+a_n)^{n-2}\)。

題目

　　題集。

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Matrix-Tree定理

　　無向圖生成樹計數：令\(G=D-A\)（基爾霍夫矩陣=度數矩陣-邊矩陣），而後去除\(G\)的任意一行一列獲得\(G’\)，\(G’\)的行列式即生成樹個數。
　　有向圖生成樹計數：與無向圖不一樣的是，\(D\)矩陣爲入度/出度矩陣分別對應外向樹/內向樹。且刪掉第\(i\)行第\(i\)列表示以\(i\)爲根節點的生成樹個數。

題目

　　題集。

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最小生成樹 Borůvka算法

一開始每一個連通份量是一個點自己。
每輪枚舉全部屬於不一樣連通份量的邊，每一個連通份量選擇和其餘連通份量相連的最小的邊，而後合併。
每輪連通塊個數至少減半，因此最多進行\(\log V\)輪。時間複雜度\(O(E\log V)\)。
具體實現直接用並查集便可。代碼能夠看這裏。

題目

通常用來作邊權與點權相關，仍是個徹底圖，求MST的題？

1. 有\(n\)個點的徹底圖，每一個點的權值爲\(a_i\)，兩個點之間的邊權爲\((a_i+a_j)\ mod\ M\)。求這張圖的最小生成樹。
   \(N\leq10^5,0\leq M,a_i\leq10^9\)
   具體怎麼作忘了。。大家結合下面的題腦補一下。
2. CF888G。
   有一張\(n\)個點的徹底圖，每一個點的權值爲\(a_i\)，兩個點之間的邊權爲\(a_i\ \text{xor}\ a_j\)。求該圖的最小生成樹。
   \(n\leq2*10^5,0\leq ai<2^{30}\)。

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最小瓶頸生成樹

使得生成樹樹上最大邊權值最小。
方法1：最小生成樹必定是最小瓶頸生成樹。
方法2：二分答案，看點是否連通。
方法3：
　　類比找第k大值的方法(nth_element)，首先隨機一個邊權\(w\)。而後將不超過這個邊權的邊加入，遍歷這張圖。
　　若是圖連通，那麼瓶頸不超過\(w\)，因而只需考慮邊權不超過\(w\)的邊；不然將這些連通點縮起來，考慮邊權大於\(w\)的邊。
　　每次將問題的規模縮小至一半。指望時間複雜度\(T(m)=T(\frac m2)+O(m)=O(m)\)。

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單源最短路(SSSP)

\(Dijkstra\)（貪心）或者\(Bellman Ford\)（動態規劃）。
時間複雜度\(O(m\log n)\)或者\(O(nm)\)。

一些變種

邊權是\(0/1\)：雙端隊列，若是是\(0\)在頭部插入，不然在尾部插入。
最長路徑不超過\(W\), 正權圖：使用\(0...W\)的桶+鏈表維護這些點（代替堆），時間複雜度\(O(m+W)\)。

關於判負環

複雜度\(O(nm)\)。代碼實現能夠記錄最短路樹上的深度來判環，而不是入隊次數，這樣會有優化。

if(dis[v]>dis[u]+w)
    dis[v]=dis[u]+w
    dep[v]=dep[u]+1
    if(dep[v]>n) return;

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差分約束

大致過程：http://www.cppblog.com/menjitianya/archive/2015/11/19/212292.html
考慮最短路中的鬆弛操做：if(dis[v]>dis[x]+w) dis[v]=dis[x]+w，也就是強制使得\(dis[v]\)知足\(dis[v]\leq dis[x]+w\Rightarrow dis[v]-dis[x]\leq w\)。
因此對於\(x_j-x_i\leq w\)的限制，能夠連一條邊\((i\to j,w)\)。這樣求\(x_n-x_0\)的最大值，就是求\(0\to n\)的最短路。
若是限制是\(x_j-x_i\geq w\)，同理連邊\((i\to j,w)\)。\(x_n-x_0\)的最小值就是求\(0\to n\)的最長路。
若是兩種限制都有，就把\(\geq\)變成\(\leq\)。
解的存在性：
好比求\(x_n-x_0\)的最大值：若圖中存在負環，則\(0\to n\)的最短路無窮小，則不存在最大值（無解）。
若\(0\)和\(n\)就不在同一連通塊，則\(0\to n\)的最短路無窮大，最大值無窮大（或者存在無數多解）。
不然有解。
PS：
\(SPFA\)能夠根據入隊次數判負環，也能夠據此判正環。雖然效率都不高就是了。
\(Dijkstra\)不能求最長路（本質是貪心）。
如何判斷解惟一：
對原圖求一遍最短路。將原圖取反，邊權取反，求一遍最長路。
一個標號對應的是能取到的最小值，一個是最大值。
若是相同則解惟一。（沒什麼用）

題目

題集。

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多源最短路(APSP)

\(Floyd\)：\(O(n^3)\)
\(Johnson\)算法（可用於負權圖）：\(O(nm\log n)\)

\(Johnson\)算法

原理：首先給圖中每一個點一個權值\(h(u)\), 把每條邊的邊權\(w(u,v)\)改爲\(w(u,v)+h(u)-h(v)\)。
對於\(s\to t\)的一條路徑\(p\)，權值爲

=
因此這麼作不會改變最短路。（也能夠看這兒）
實現：第一次SPFA預處理\(1\)到每一個點的距離\(dis\)，記\(h(v)=dis(v)\)。而後把邊權\(w(u,v)\)改成\(w(u,v)+h(u)-h(v)\)。
其中\(h(u)\)爲給每一個點設定的權值，\(h(u)=dis[u]\)。
由不等式能夠獲得\(dis(u)+w(u,v)\geq dis(v)\)，也就是改完以後全部邊權非負。
以後能夠每一個點用\(Dijkstra\)跑。就是\(O(nm\log n)\)啦。
這樣也能夠實現\(Dijkstra\)跑費用流。

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半徑 直徑 (正權圖)

（後面就直接抄dls課件了QAQ）
\(u\)的偏愛距 \(ecc(u)=\max\{dis(u,v)\}\)
直徑 \(d=\max\{ecc(u)\}\)
半徑 \(r=\min\{ecc(u)\}\ (d\neq2r)\)
中心 \(arg\ \min\{ecc(u)\}\)（要求定義在點上）
絕對中心（能夠定義在邊上）

絕對中心

相關：求最小直徑生成樹（差很少）。
實現：固定一條\((u,v)\)，考慮上面的點\(p\)的偏愛距。
假設第三個點是\(w\), \(dis(p,u)=x\)。
那麼對應的折線爲\(\min\{x+dis(u,w),\ w(u,v)-x+dis(v,w)\}\)。
那麼偏愛距爲\(n\)條折線的最大值造成的折線。
按左端點排序維護一下。時間複雜度\(O(nm\log n)\)

最小直徑生成樹

即絕對中心的最短路樹。
如何證實？
注意一棵樹\(T\)的直徑爲半徑的兩倍(對絕對中心來講)。若是最小直徑生成樹\(T’\)不包含絕對中心，那麼取\(T’\)的絕對中心\(v\)，顯然矛盾。

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拓撲排序

每次去掉圖中入度爲\(0\)的點。
時間複雜度\(O(n+m)\)。
若是最後不爲空集，那麼這個圖不爲DAG。（不然每一個點入度不爲0，即每一個點能夠選擇一個前趨，沿着前趨走根據抽屜原理必定能找到相同點，也就是一個環。）
按照反圖DFS，出棧序列就是一個合法的拓撲序列。
scc縮點順序也是一個合法拓撲序。

求字典序最小的拓撲序

每一個點有不一樣的標號，要使得拓撲序最小。
將拓撲排序的隊列改爲優先隊列便可。

最小拓撲序的一個變種

使得最後的拓撲序中1的位置儘可能靠前，若是相同比較2的位置，依次類推。
首先考慮如何求1最先出現的位置，能夠將原圖反向，而後每次彈除了1以外的元素，直到隊列只剩下1爲止。
這是反圖中1的最晚的出現的位置，也就是原圖中最先的。
根據是否在隊列裏，這個圖被分紅兩部分，在對應的圖中用一樣的方法處理2，依次類推。
容易發現每次找儘可能大的元素出隊，能完成上述的過程。
因此等價於反圖最大字典序。

題目

題集。

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二分圖匹配

Hall's marriage theorem（霍爾定理）

對於一個二分圖\(G=(X,Y,E)\)，記\(S\)爲\(X\)的一個子集，\(N(S)\)爲全部\(S\)中全部點的相鄰點的並集。
一個圖有完備匹配當且僅當\(X\)的全部子集\(S\)都有\(|S|\leq|N(S)|\)。
對通常圖的推廣:

推論: 每一個正則二分圖都有完備匹配。

Kőnig's theorem

最小點覆蓋=最大匹配 (與最大流最小割定理等價)
最大獨立集=點數-最大匹配 (獨立集爲點覆蓋的補集)
最小邊覆蓋=最大獨立集 (獨立集中每一個點須要一條邊去覆蓋)

DAG最小路徑覆蓋

覆蓋全部的邊：每條邊下界設爲1, 而後求最小流。
覆蓋全部的點：創建二分圖，對於\(u\to v\)的邊，看作二分圖中的\((u,v’)\)，而後答案爲點數-最大匹配。
\(Dilworth\)定理: 最大反鏈=最小鏈覆蓋；最短的最長鏈=最小反鏈劃分數-1（？存疑。見BZOJ4160）。（固然這個不該該只放在二分圖部分的）

題目

題集。

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連通份量

強連通份量

\(Tarjan\)。
將一個圖的全部強聯通份量縮起來會獲得一個DAG。

雙聯通份量

點連通度: 最小的點集使得刪去以後圖不連通
邊連通度: 最小的邊集使得刪去以後圖不連通
若是一個圖的點連通度大於1，那麼是點雙連通的，邊連通同理。
雙聯通份量爲圖中的極大雙聯通子圖。

割點和橋

考慮DFS樹，每條非樹邊對應着一個點到祖先的路徑。對於一條非樹邊只要把對應的邊打上標記便可。
好比對於\((u,v)\)這條非樹邊，只要在\(u\)點打上\(+1\)的標記，\(v\)點打上\(-1\)的標記。
\(x\)到\(fa[x]\)的樹邊的覆蓋次數爲子樹內全部標記的和。
割點同理（注意特判根節點和葉節點）。
（沒看懂下面要幹嗎）

題目

題集。

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2-SAT

一堆變量的二元限制。
問是否存在合法的賦值。

題目

例題，題集。

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曼哈頓距離與切比雪夫距離

將原座標系每一個點的座標\((x,y)\)變爲\((x+y,x-y)\)，則原座標系中的曼哈頓距離等於新座標系中的切比雪夫距離。
反過來，將原座標系每一個點的座標\((x,y)\)變爲\((\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})\)，則原座標系中的切比雪夫距離等於新座標系中的曼哈頓距離。
例題：BZOJ3170 松鼠聚會。