第十六屆浙江大學寧波理工學院程序設計大賽 E 雷頓女士與平衡樹（並查集）

題意

連接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/2995/E
來源：牛客網

卡特莉正在爬樹，此時她又在樹梢發現了一個謎題，爲了避免令她分心以致於發生意外，請你幫她解決這個問題。
具體地來講,咱們定義樹上從u到v簡單路徑上全部點權中最大值與最小值的差值爲這條路徑的"平衡值"，記爲balance(u,v)。

 

 

 

思路

首先，把這個式子拆成兩部分，一部分計算最大值的和，另外一部分計算最小值的和。

如何計算最大值的和？

將點按點權從小到大排序，從小到大遍歷每一個點u，記u爲訪問過，找u連的點v，若是v訪問過了，那麼說明v確定比u小，因此u的權值在這兩個集合做爲最大值，乘上sz[fu]和sz[fv]即爲u對答案的貢獻。可能會有疑問爲啥要乘上sz[fu]，乘上sz[fv]不就是u對v所在集合的貢獻嗎？實則否則，好比看樣例：

1
10
9 9 6 2 4 5 8 5 5 6
2 1
3 1
4 3
5 3
6 4
7 2
8 4
9 5
10 3

 

 藍色表示每一個點按順序更新後所在集合的sz，當遍歷到u=2的時候，發現連的點7和1都訪問過，說明權值都是小於等於9的，因此將2和7合併後，u所在集合的sz變成了2，那麼2再和1合併時，不只2能夠做爲1所在集合的點的最大值，並且7這個點是能夠陪着2一塊兒連向1所在集合的，由於最大值依然是2這個點。

對於最小值的和的求法是相似的，按權值從大到小排序……

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
const int N=5e5+5;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-8;
const double PI = acos(-1.0);
#define lowbit(x) (x&(-x))
int read()
{
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        x=x*10+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return x;
}
struct node
{
    ll x,w;
}a[N];
bool cmp1(node a,node b)
{
    return a.w<b.w;
}
bool cmp2(node a,node b)
{
    return a.w>b.w;
}
vector<int> g[N];
ll pre[N],mx[N],mn[N],sz[N],vis[N];
ll find(ll x)
{
    if(x==pre[x])
        return x;
    return pre[x]=find(pre[x]);
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    int t=read();
    while(t--)
    {
        int n=read();
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            g[i].clear();
            a[i].w=read();
            a[i].x=i;
            mx[i]=mn[i]=a[i].w;
        }
        for(int i=1; i<n; i++)
        {
            int u=read(),v=read();
            g[u].push_back(v);
            g[v].push_back(u);
        }
        sort(a+1,a+n+1,cmp1);
        for(int i=1; i<=n; i++)
            pre[i]=i,sz[i]=1,vis[i]=0;
        ll ans1=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            ll u=a[i].x,fu=find(u);
            vis[u]=1;
            for(int j:g[u])
            {
                if(!vis[j]) continue;
                int fj=find(j);
                pre[fj]=fu;
                ans1=(ans1+sz[fu]*sz[fj]%mod*a[i].w%mod)%mod;
                (sz[fu]+=sz[fj])%=mod;
            }
            //     cout<<u<<" "<<sz[fu]<<endl;
        }
        // cout<<ans1<<endl;
        sort(a+1,a+1+n,cmp2);
        for(int i=1; i<=n; i++)
            pre[i]=i,sz[i]=1,vis[i]=0;
        ll ans2=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            int u=a[i].x,fu=find(u);
            vis[u]=1;
            for(int j:g[u])
            {
                if(!vis[j]) continue;
                int fj=find(j);
                pre[fj]=fu;
                ans2=(ans2+sz[fu]*sz[fj]%mod*a[i].w%mod)%mod;
                (sz[fu]+=sz[fj])%=mod;
            }
            //     cout<<u<<" "<<sz[fu]<<endl;
        }
  //      cout<<ans2<<endl;
        cout<<(ans1%mod-ans2%mod+mod)%mod<<endl;
    }
    return 0;
}