座標變換

注1：本節所有座標系均爲右手座標系（如笛卡爾平面直角座標系），不註明的情況下轉角默認爲逆時針，如果座標系爲左手座標系（如高斯平面直角座標系），需將順逆時針顛倒。
注2：計算機上的座標有的用行向量的形式，使用時需要將變換矩陣取轉置。

座標變換

定義：
一個座標系的座標變換爲另一種座標系的座標的法則。

研究同一個點在兩個座標系中的座標之間的關係。

點不動，座標系動

1. 座標系

對於幾何空間中的一個點O和一組基 d1,d2,d3 ，稱其爲幾何空間的一個仿射座標系，記作 [O;d1,d2,d3] 。對於幾何空間中的一個點O和一組基 e1,e2,e3 ，若 e1,e2,e3 爲兩兩垂直的單位向量，則稱其爲一個直角座標系，記作 [O;d1,d2,d3] 。平面類似。

1. 仿射座標變換

平面上給了兩個仿射座標系： [O;d1,d2] 和 [O′;d′1,d′2] .爲方便起見，稱前一個爲舊座標系，記作I；後一個爲新座標系，記作II。設II的原點的I座標爲 (x0,y0)T ,II的基向量 d′1,d2 的I座標分別是 (a11,a21)T,(a12,a22)T 。 現在我們求點M的I座標 (x,y)T 與II座標 (x′,y′)T 之間的關係。

OM→=OO′→+O′M→=(x0d1+y0d2)+(x′d′1+y′d′2)=(x0d1+y0d2)+x′(a11d1+a21d2)+y′(a12d1+a22d2)=(a11x′+a12y′+x0)d1+(a21x′+a22y′+y0)d2

(xy)=(a11a21a12a22)(x′y′)+(x0y0)

用文字表示就是：
老座標= A∗ 新座標+ A0
新座標= A−1∗ (老座標- A0 )
A 稱爲I到II的過渡矩陣。

特殊的，有：
移軸公式：

(xy)=(x′y′)+(x0y0)

轉軸公式：

(xy)=(cosθsinθ−sinθcosθ)(x′y′)+(x0y0)

點變換

定義：
變換：集合A到自身的一個映射稱爲A上的一個變換。
如果A爲點集，則稱之爲一個點變換。

點變換研究同一個（第一個）座標系中變換前後點的對應關係
點隨着座標系一起動

設映射 f:A→B ,映射 g:B→C ,先作映射f，接着作映射g，得到一個A到C的映射，稱爲映射f與g的乘積（或複合），記作gf，即

(gf)(a)=g(f(a))∀a∈A.

如果 T 是一個從線性空間 Vn 到其自身的線性映射（linear map），則稱其爲線性空間 Vn 中的線性變換。
線性變換的矩陣形式： T(x)=Ax ,稱 A 爲線性變換的矩陣

A=[T(e1),T(e2)...T(en)]

正交變換(Orthogonal Transformation)

定義：
平面上的一個點變換，如果保持任意兩點的距離不變，則稱它爲正交變換（或保距變換）。

（正交變換第二基本定理）：平面上的正交變換或者是平移，或者是旋轉，或者是反射，或者是是它們之間的乘積。

平移、旋轉以及他們之間的乘積稱爲剛體運動。

正交變換的矩陣 A ：
|A|=1 ，第一類正交變換（剛體運動），包括平移、旋轉
|A|=−1 ，第二類正交變換，包括反射

高等代數中的定義 ： 設 V 是一個歐氏空間， σ 是 V 的一個變換．若 σ 保持向量的內積不變，即

∀α,β∈V,(σ(α),σ(β))=(α,β)

則稱 σ 是 V 上的一個正交變換。從定義容易看出， V 的正交變換保持向量的 長度不變，保持兩個非零向量的 夾角不變，保持 正交性不變。

仿射變換（Affine Transformation)

幾何定義：如果平面（作爲點集）到自身的雙射 σ 把共線三點映成共線三點，那麼稱 σ 是平面上的一個仿射變換。

代數定義：兩個向量空間之間的一個仿射變換（來自拉丁語，affine，「和…相關」）由一個非奇異的線性變換接上一個平移變換組成

（仿射變換基本定理）：設 σ 是平面上的一個變換， I[O;d1,d2] 是仿射座標系， σ(O)=O′,σ(di)=d′i(i=1,2) ,則σ是仿射變換當且僅當 II[O′,d′1,d′2] 也是仿射座標系，且點 P 的 I 座標等於它的像點 P′ 的 II 座標。

• 旋轉變換（Rotation /Givens Transformation)
  
  A=(cosθsinθ−sinθcosθ)

Givens變換一般形式：

G(i,j,θ)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1⋱cosθ−sinθ⋱sinθcosθ⋱1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ij

表示將在n維空間中的點在i，j對應的基確定的平面中繞原點順時針旋轉 θ 角。

• 反射變換（Reflection\Householder Transformation)
  l⃗ =(lx,ly) 爲一條過原點的直線的方向向量：

A=1||l⃗ ||2(l2x−l2y2lxly2lxlyl2y−l2y−l2x)

在 R3 中，給定一個向量 α ,令 β 表示 α 關於平面 π (以 ω 爲法向量)的反射變換所得像，
記

ω=α−�