實序列快速傅里葉變換（一）

1、功能

計算實序列的快速傅里葉變換。

2、方法簡介

實序列\(x(n)\)的離散傅立葉變換爲
\[ X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{nk} \ , \ k=0,1,...,N-1 \]
上式可用復序列FFT算法進行計算。但考慮到\(x(n)\)是實數，爲進一步提升計算效率，須要對按時間抽取的基2復序列FFT算法進行必定的修改。

若是序列\(x(n)\)是實數，那麼其傅立葉變換\(X(k)\)通常是複數，但其實部是偶對稱，虛部是奇對稱，即\(X(k)\)具備以下共輒對稱性： \(X(0)\)和\(X(N/2)\)都是實數，且有
\[ X(k)=X^{*}(N-k) \ , \ 1 \leqslant k \leqslant \frac{N}{2} - 1 \]
在計算離散傅立葉變換時，利用這種共輒對稱性，咱們就能夠沒必要計算與存儲\(X(k)(N/2 + 1 \leqslant k \leqslant N — 1)\)以及\(X(0)\)和\(X(N/2)\)的虛部，而僅需計算\(X(0)\)到\(X(N/2)\)便可。此處咱們選擇的是計算\(X(0)\)到\(X(N/4)\)和\(X(N/2)\)到\(X(3N/4)\), 這樣作能夠剛好利用復序列FFT 算法的前\((N/4)+1\)個複數蝶形。這就是按時間抽取的基2實序列FFT算法，它比復序列FFT算法大約可減小一半的運算量和存儲量。

3、使用方法

是用C語言實現實序列快速傅里葉變換的方法以下：

/************************************
    x       ----長度爲n。開始時存放要變換的實數據，最後存放變換結果的前n/2+1個值，
                其存儲順序爲[Re(0),Re(1),...,Re(n/2),Im(n/2-1),...,Im(1)]。
                其中Re(0)=X(0),Re(n/2)=X(n/2)。根據X(k)的共軛對稱性，很容易寫
                出後半部分的值。
    n       ----數據長度，必須是2的整數次冪，即n=2^m。
************************************/
#include "math.h"

void rfft(double *x, int n)
{
    int i, j, k, m, il, i2, i3, i4, nl, n2, n4;
    double a, e, cc, ss, xt, tl, t2;

    for(j = 1, i = 1; i < 16; i++) {
        m = i;
        j = 2 * j;
        if(j == n) break;
    }
    n1 = n - 1;
    for(j = 0, i = 0; i < n1; i++) {
        if(i < j) {
            xt = x[j];
            x[j] = x[i];
            x[i] = xt;
        }
        k = n / 2;
        while(k < (j + 1)) {
            j = j - k;
            k = k / 2;
        }
        j = j + k;
    }
    for(i = 0; i < n; i += 2) {
        xt = x[i];
        x[i] = xt + x[i + 1];
        x[i + 1] = xt - x[i + 1];
    }
    n2 = 1;
    for(k = 2; k <= m; k++) {
        n4 = n2;
        n2 = 2 * n4;
        n1 = 2 * n2;
        e = 6.28318530718 / nl;
        for(i = 0; i < n; i += n1) {
            xt = x[i];
            x[i] = xt + x[i + n2];
            x[i + n2] = xt - x[i + n2];
            x[i + n2 + n4] = -x[i + n2 + n4];
            a = e;
            for(j = 1; j <= (n4-1); j++) {
                i1 = i + j;
                i2 = i - j + n2;
                i3 = i + j + n2;
                i4 = i - j + n1;
                cc = cos(a);
                ss = sin(a);
                a = a + e;
                t1 = cc * x[i3] + ss * x[i4];
                t2 = ss * x[i3] - cc * x[i4];
                x[i4] = x[i2] - t2;
                x[i3] = -x[i2] - t2;
                x[i2] = x[i1] - t1;
                x[i1] = x[i1] + t1;
            }
        }
    }
}