分裂基快速傅里葉變換

1、功能

計算復序列的分裂基快速傅里葉變換。

2、方法簡介

序列\(x(n)(n=0,1,...,N-1)\)的離散傅里葉變換定義爲
\[ X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{nk}, \qquad k=0,1,...,N-1 \]
其中\(W_{N}^{nk}=e^{-j\frac{2\pi nk}{N}}\)，將\(X(k)\)按序號\(k\)的奇偶分紅兩組。當\(k\)爲偶數時，進行基2頻率抽取分解， \(X(k)\)可表示爲
\[ X(2k)=\sum_{n=0}^{N/2-1}[x(n)+x(n+\frac{N}{2})]W_{N}^{2nk} \ , \ k=0,1,...,\frac{N}{2}-1 \]
當\(k\)爲奇數時進行基4 頻率抽取分解，$ X(k)$可表示爲
\[ \left\{\begin{matrix}X(4k+1)=\sum_{n=0}^{N/4-1}{[x(n)-x(n+\frac{N}{2})]-j[x(n+\frac{N}{4})-x(n+\frac{3N}{4})]}W_{N}^{n}W_{N}^{4nk}\\ X(4k+3)=\sum_{n=0}^{N/4-1}{[x(n)-x(n+\frac{N}{2})]+j[x(n+\frac{N}{4})-x(n+\frac{3N}{4})]}W_{N}^{n}W_{N}^{4nk}\end{matrix}\right.\\k = 0,1,...,\frac{N}{4}-1 \]
因而可知，一個\(N\)點的DFT 能夠分解爲一個\(N/2\)點的DFT 和兩個\(N/4\)點的DFT 。這種分解既有基2的部分，又有基4的部分，所以稱爲分裂基分解。上面的\(N/2\)點DFT 又可分解爲一個\(N/4\)點的DFT 和兩個\(N/8\)點的DFT, 而兩個\(N/4\)點的DFT也分別能夠分解爲一個\(N/8\)點的DFT和兩個\(N/16\)點的DFT 。依此類推，直至分解到最後一級爲止。這就是按頻率抽取的分裂基快速傅立葉變換算法。

分裂基快速算法是將基2和基4分解組合而成。在基\(2^m\)類快速算法中，分裂基算法具備最少的運算量，且仍保留結構規則、原位計算等優勢。

3、使用說明

是用C語言實現基4快速傅里葉變換（FFT）的方法以下：

/************************************
    x       ---一維數組，長度爲n，開始時存放要變換數據的實部，最後存放變換結果的實部。
    y       ---一維數組，長度爲n，開始時存放要變換數據的虛部，最後存放變換結果的虛部。
    n       ---數據長度，必須是4的整數次冪。
************************************/
#include "math.h"

void srfft(double *x, double *y, int n)
{
    int i, j, k, m, il, i2, i3, nl, n2, n4, id, is;
    double a, b, c, e, a3, rl, r2, r3, r4;
    double cl, e3, sl, s2, s3, ccl, cc3, ssl, ss3;

    for(j = 1; i = 1; i < 10; i++) {
        m = i;
        j = 4 * j;
        if(j == n) break;
    }
    n2 = 2 * n;
    for(k = 1; k <= m; k++) {
        n2 = n2 / 2;
        n4 = n2 / 4;
        e = 6.28318530718 / n2;
        a = 0;
        for(j = 0; j < n4; j++) {
            a3 = 3 * a;
            ccl = cos(a);
            ssl = sin(a);
            cc3 = cos(a3);
            ss3 = sin(a3);
            a = (j + 1) * e;
            is = j;
            id = 2 * n2;
            do {
                for (i = is; i < (n-1); i = i + id) {
                    il = i + n4;
                    i2 = il + n4;
                    i3 = i2 + n4;
                    rl = x[i] - x[i2];
                    x[i] = x[i] + x[i2];
                    r2 = x[il] - x[i3];
                    x[il] = x[il] + x[i3];
                    sl = y[i] - y[i2];
                    y[i] = y[i] + y[i2];
                    s2 = y[il] - y[i3];
                    y[il] = y[il] + y[i3];
                    s3 = rl - s2;
                    rl = rl + s2;
                    s2 = r2 - sl;
                    r2 = r2 + sl;
                    x[i2] = rl * eel - s2 * ssl;
                    y[i2] = -s2 * eel - rl * ssl;
                    x[i3] = s3 * ee3 + r2 * ss3;
                    y[i3] = r2 * ee3 - s3 * ss3;
                }
                is = 2 * id - n2 + j;
                id = 4 * id;
            }while (is < (n-1));
        }
        is = O;
        id = 4;
        do {
            for (i=is;i<n;i=i+id) {
                il = i + 1;
                rl = x[i];
                r2 = y[i];
                x[i] = rl + x[il];
                y[i] = r2 + y[il];
                x[il] = rl — x[il];
                y[il] = r2 — y[il];
            }
            is = 2 * id - 2;
            id = 4 * id;
        } while(is < (n - 1));
        nl = n - 1;
        for (j = O, i = O; i < nl; i++) {
            if(i < j)  {
                rl = x[jJ;
                sl = y[j];
                x[j] = x[i];
                y[j] = y[i];
                x[i] = rl;
                y[i] = sl;
            }
            k = n / 2;
            while(k < (j + 1)) {
                j = j - k;
                k = k / 2;
            }
            j =  j + k;
        }   
    }
}