繞圓弧動畫的向量解決方式

記得幾年前，個人一個同事J須要作一個動畫功能，大概的需求是
實現球面上一個點到另一個點的動畫。當時他遇到了難度，在研究了一個上午無果的狀況下，諮詢了我。我就告訴他說，你先嚐試一個簡化的版本，就是實現圓環上一個點到另一個點的動畫。以下圖所示，要實現點A插值漸變到B的動畫過程。

同事J的解決方案是，先計算出來A點和圓心O的連線和水平方向（與X軸平行)的夾角1，再計算出B點和圓心O的連線和水平水平方向的夾角2。 計算出夾角之後，開始實現動畫效果，因爲已經有了兩個角度，因此只須要實現一個角度不斷插值變化的效果便可，以下圖所示：

可是這兒存在一個問題，好比下圖中。

從A點和B點的位置變化從圖中能夠看出，A點在第二象限，角度範圍是π/2~π，而A點在第三象限，角度範圍在 -π~-π/2（Math.atan2的計算結果）。此時從A點的角度動畫到B點的角度，動畫效果是從A點沿着順時針方向繞一大圈動畫到B，而不是直接從A點逆時針動畫到B點。
而實際上咱們想要的結果是從A點逆時針到B點（運動的角度最小）。若是此時須要得到正確的結果，就須要作各類角度的轉換適配。

角度的難點在哪兒

首先假設OA的座標點爲（x1，y1），注意此處是A點相對於與圓心O點的座標，這樣方便計算。而後計算出角度，咱們知道能夠經過Math.atan2(y,x)來計算角度。 那麼計算出來的角度的範圍以下，以座標系4個象限爲分類標準：

• 第一象限的角度範圍是：0 ~ PI/2
• 第二象限的角度範圍是：PI/2 ~ PI
• 第三象限的角度範圍是：-PI ~-PI/2
• 第四象限的角度範圍是: -PI/2 ~-PI

以下圖所示：

從上面圖中能夠看出，象限之間的角度變換不是線性的，好比從第二象限到第三象限，角度出現了跳躍式的變換。假設A點在第二象限，B點在第三象限，以下圖所示：

如今假設A點的角度爲 3/4 PI, B點的角度爲 - 3/4PI,若是按照角度插值的方式進行運動。示例代碼片斷入下：

var i = 0,count = 200;
      var PI = Math.PI;
      function animateAngle() {   
        var angle = (angle1 * (count-i) + angle2 * (i)) / count;
        var x = cx + Math.cos(angle) * r,
            y = cy + Math.sin(angle) * r;
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(cx,cy);
        ctx.lineTo(x,y);
        ctx.strokeStyle = 'red';
        ctx.stroke();
        i ++;
        if(i > count){
            i = 0;
        }
      }

運動的軌跡以下圖紅色弧線所示，

而實際，咱們但願的效果是按照最短的路徑進行運動，以下圖藍色弧線：

爲何運動軌跡是紅色的弧線呢。 由於使用了角度的插值，A點角度是PI3/4,B點角度爲-PI3/4，所以插值是從一個正的角度減小到一個負的角度，這正好是紅色路徑。下圖標記了主要節點的角度：
。
一樣的道理，從B點動畫到A點，也一樣會走紅色路徑。

要實現A點和B點之間沿着藍色弧線動畫，須要把B點的角度加上2 PI，此時B點的角度爲PI5/4。看來把小於0的角度加上2*PI，能夠解決上面的問題。
可是這種方式不能解決全部的狀況，好比把A點移到第一象限，有下面兩種狀況：

• 狀況1： 紅色弧線的角度小於PI，此時應該沿着紅色弧線動畫，此時
  B點的角度不該該加上PI*2
• 狀況2： 紅色弧線的角度大於PI，此時應該沿着藍色弧線動畫，此時
  B點的角度應該加上PI*2

能夠看出狀況比較複雜，須要考慮角度的各類狀況進行轉換，才能獲得正確的結果，因此不少人程序員會陷入其中熱找不到正解。

向量解決

正是因爲有了這個角度的問題，致使這個動畫實現的難度變大。同事J在通過各類實驗後未能找到好的解決方案，問我如何解決。我看了以後，給出的解決方案是，能夠考慮直接用向量的插值，而不是用角度的插值。向量的基本概念，咱們在高中就學習過，此處不作詳細說明。

向量解決方案一

好比上面的問題，不管是A點到B點，仍是A點到C點，均可以用統一的模式解決。首先，咱們能夠把問題簡化成一個線性運動的問題，好比從A點運動C點，因爲是線性問題，這經過向量的插值（0~1）很容易計算出來，首先計算出向量OA，而後計算出向量OC，經過以後能夠經過插值運算，計算出中間向量
OX = OA （1-x） + OC （x）
上面的公式計算出來的OX，其長度和OA和OC並不相等，因此點X並非在圓環上運動。此時只須要經過向量的縮放操做，把OX的長度延長爲OA的長度便可。

如下是代碼片斷：

var v1 = new Vec3(x1-cx,y1-cy,0),
         v2 = new Vec3(x2-cx,y2-cy,0);
var i = 0,count = 200;
function animateVector(){
          var a = i / count;
          var v = new Vec2().lerpVectors(v1,v2,a);
          v.setLength(r);
          i ++;
          if(i > count){
            i = 0;
          }
          
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(cx,cy);
        ctx.lineTo(v.x + cx,v.y + cy);
        ctx.strokeStyle = 'orange';
        ctx.stroke();
      }

其中Vec2是二維向量類。
固然上面的解決方案有個問題：上面的運動是基於直線均勻運動的，應此並不能保證動畫的角度均勻性。當角度小的時候，這種差別並不大，因此在不嚴格要求角度均勻的狀況下，能夠不用處理。 而若是角度大的時候，速度差別就會比較大。

向量解決方案二

若是必定要角度均勻，也是能夠作的，能夠用到向量的點乘、叉乘知識。首先咱們須要學習兩個知識點

向量的點乘簡介

向量A（ x1,y1）和向量B(x2,y2)的點乘結果以下：

A*B = x1*x2 + y1*y2

向量A點乘向量B的點乘結果的另一個公式以下：

a * b = |a| * |b| * cosθ

經過該公式能夠推導出，兩個向量之間的夾角的計算公式：

cosθ  = a * b /( |a| * |b| )
θ = Math.acos(a * b /( |a| * |b| ));

點乘計算出來的夾角的的範圍是在0~PI之間。

向量的叉乘

二維向量沒有叉乘，叉乘是針對三維向量的。本文所述的問題，是一個二維的問題 ，可是爲了方便使用叉乘來解決問題，把二維問題升級到三維問題，也就是，增長一個z座標。
向量叉乘的結果叫作向量積，其自己也是一個向量，向量積的定義以下：
模長：（在這裏θ表示兩向量之間的夾角(共起點的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位於這兩個矢量所定義的平面上。）
方向：向量A與向量B的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵照右手定則。（一個簡單的肯定知足「右手定則」的結果向量的方向的方法是這樣的：若座標系是知足右手定則的，當右手的四指從A以不超過180度的轉角轉向B時，豎起的大拇指指向是向量C的方向。C = A ∧ B）
。

本文中，向量A和向量B都在xy平面，因此他們的叉乘結果C（向量積）和xy平面垂直，和z座標平行。其方向和A到B的順序有關：

• 當A到B是順時針的時候，C指向z軸的負方向。
• 當A到B是逆時針的時候，C指向z軸的正方向。

有了相關的向量知識，如今給出問題的解決方案，代碼以下：

var v1 = new Vec3(x1-cx,y1-cy,0),
           v2 = new Vec3(x2-cx,y2-cy,0);
        var crossVector = new Vec3().crossVectors(v1,v2);
var i = 0,count = 100;
function animateVector2(){
        var a = i / count;
        var vAngle = v1.angleTo(v2); 
        if(crossVector.z > 0){//經過向量叉乘判斷是逆時針仍是順時針，crossVector.z > 0是逆時針
            angleEnd = angle1 + vAngle;
        }else{
            angleEnd = angle1 - vAngle;
        }
        var angle = (angle1 * (count-i) + angleEnd * (i)) / count;
        var x = cx + Math.cos(angle) * r,
            y = cy + Math.sin(angle) * r;
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(cx,cy);
        ctx.lineTo(x,y);
        ctx.strokeStyle = 'orange';
        ctx.stroke();
        i ++;
        if(i > count){
            i = 0;
        }
      }

大體步驟以下：

1. 經過三角函數知識，計算出A點的夾角angle1。
2. 經過向量的點乘知識，能夠計算出兩個向量之間的夾角vAngle。
3. 經過向量叉乘計算出向量A和向量B的向量積crossVector。
4. 經過crossVector的方向，來判斷向量A到向量B的運動方向是順時針仍是逆時針。若是crossVector.z > 0說明是逆時針，反之是順時針。
5. 若是是順時針，經過 angle1 - vAngle計算出角度angleEnd，若是是逆時針，經過 angle1 + vAngle計算出角度angleEnd。
6. 經過在angle1和angleEnd之間進行角度插值來實現動畫效果。

總結： 上面的方法其實仍是使用角度的插值來實現動畫效果，因此是角度均勻的動畫。 可是藉助了向量工具，讓起始和結束角度的計算變得容易。

向量解決方案三

方案一的問題在於，向量A到向量B之間的線性插值是直線均勻的，可是不是角度均勻的。若是咱們把線性插值的插值因子改爲角度均勻，而仍然使用線性插值的計算方式，就能夠解決方案一的問題。這要藉助三角函數的知識，先看下圖：

首先經過向量點乘，能夠計算出角AOB的夾角vAngle，假定運動的角度爲θ，此時運動點在X處，經過三角函數知識能夠獲得：

AM = MB = OA Math.sin(vAngle/2) = r Math.sin(vAngle/2) ;
其中r爲半徑
OM = OA Math.cos(vAngle/2) = r Math.cos(vAngle/2) ;
所以能夠算出
XM = OM * Math.tan(vAngle/2 - θ)，
最終能夠計算出AX的長度爲
AX = AM - XM = r Math.sin(vAngle/2) - r Math.cos(vAngle/2) *Math.tan(vAngle/2 - θ)

經過以上計算公式，能夠計算出基於角度的線性插值的插值因子 s = AX/AB。 帶入插值因子，結合向量的線性插值便可實現角度均勻的動畫效果,代碼以下：

function animateVector3(){
        var a = i / count;
        var vAngle = v1.angleTo(v2); // 經過向量計算夾角
        var stepAngle = a * vAngle; // 
        var halfLength = r * Math.sin(vAngle/2);
        var stepLength = halfLength - r * Math.cos(vAngle/2)* Math.tan(vAngle/2 - stepAngle);
        a = stepLength / (halfLength * 2); // 弧線到直線上的映射關係：0.5 - Math.cos(vAngle/2)* Math.tan(vAngle/2 - stepAngle) / ( Math.sin(vAngle/2) * 2)
        // a = 0.5 - Math.cos(vAngle/2)* Math.tan(vAngle/2 - stepAngle) / ( Math.sin(vAngle/2) * 2);
        var v = new Vec2().lerpVectors(v1,v2,a); //向量插值
        v.setLength(r);
        i ++;
        if(i > count){
            i = 0;
        }  
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(cx,cy);
        ctx.lineTo(v.x + cx,v.y + cy);
        ctx.strokeStyle = 'orange';
        ctx.stroke();
      }

回到角度適配方案

下面這段轉換代碼能夠達到角度適配的效果，此處列出代碼，不進行說明，有興趣的讀者，能夠本身研究。能夠看出，稍顯複雜。

var i = 0,count = 200;
 var PI = Math.PI;
function animateAngle2() {
          var angleStart,angleEnd;
          if(Math.sign(angle1) == Math.sign(angle2)){
              return animateAngle();
          }else{
              if(angle1 < 0 && angle1 +2*PI > angle2 + PI){
                  return animateAngle();
              }else if(angle2 < 0 && angle2 +2*PI > angle1 + PI){
                  return animateAngle();
              }else if(angle1 < 0){
                  angleStart = angle1 + 2 * PI;
                  angleEnd = angle2;
              }else{
                  angleStart = angle1;
                  angleEnd = angle2 + 2 * PI;
              }
          }
       
           var angle = (angleStart * (count-i) + angleEnd * (i)) / count;
           var x = cx + Math.cos(angle) * r,
                y = cy + Math.sin(angle) * r;
            ctx.beginPath();
            ctx.moveTo(cx,cy);
            ctx.lineTo(x,y);
            ctx.strokeStyle = 'red';
            ctx.stroke();
            i ++;
            if(i > count){
                i = 0;
            }
      }

球面的狀況

上面解決了圓環的狀況，若是是球面的狀況，若是是經過角度轉換的方式，則很是複雜。
而經過向量的方式：

• 向量解決方案一和向量解決方案三，能夠平滑的移植到球面運動的狀況，複雜度並無提升。
• 向量解決方案二，須要作一些的調整，才能夠方便的移植到球面的狀況，這裏面涉及到一些座標系變換的知識，稍微複雜，此處不講述。 有興趣的同窗，能夠留言點贊。 若是有不少人但願瞭解，我會在寫一篇文章來說解這個問題。

固然 若是學過三維的同窗必定知道四元數的相關知識,經過四元數能夠很方便的實現球面插值，這超過本文的範圍，不講述，有興趣的同窗本身瞭解吧。

總結

能夠看出：
經過角度轉換的方式來實現圓環或者球面上面的動畫，要適配不少狀況，比較複雜。
而經過向量來實現圓環或者球面上面的動畫，會變得簡單和容易理解。

這也是爲何當時同事J本身研究了一上午也沒有作出來，實現的效果，老是一下子行，一下子不行。而他在理解了向量的解決方案以後，10分鐘便寫出了健壯的動畫效果代碼。

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