數論知識總結-線性篩

數論知識總結-線性篩

NOIP爆零の蒟蒻又來學數論辣

注：下文p都是質數

---

線性篩素數

也叫歐拉篩？

int pr[maxn];bool flg[maxn];
int main(){
    for(rg int i=2;i<maxn;++i){
        if(!flg[i])pr[++pr[0]]=i;
        for(rg int j=1;i*pr[j]<=n&&j<=pr[0];++j){
            flg[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0)break;//重點
        }
    }
}

這樣篩的話，若合數$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}(p_1<p_2<\cdots<p_k)$，則$n$會在$i=n/p_1,pr[j]=p_1$處被篩去，也只會在這裏被篩去。也就是說，每一個數都會被它最小的質因子篩去。if(i%pr[j]==0)break;這句話保證了複雜度。

沒了？

---

線性篩積性函數

積性函數就是定義在$\mathbb{Z^+}$上的函數，且對於任何一對互質的正整數$x,y$知足$f(x)f(y)=f(xy)$，根據定義必定知足$f(1)=1$

然而我只會一丁點，之後再補

篩這個必須深入理解線性篩的過程

---

線性篩歐拉函數

有點點麻煩。

首先，$\phi(p)=p-1$

而後，將合數$n$分解成$n=px$（p是n最小的質因子），

若$p\nmid x$則$\phi(n)=\phi(x)\times\frac{p-1}{p}\times\frac{n}{x}=\phi(x)\times(p-1)$

不然$\phi(n)=\phi(x)\times\frac{n}{x}=\phi(x)\times p$

int phi[maxn],pr[maxn];bool flg[maxn];
main(){
	phi[1]=1;
    for(rg int i=2;i<maxn;++i){
        if(!flg[i])pr[++pr[0]]=i,phi[i]=i-1;
        for(rg int j=1;i*pr[j]<maxn&&j<=pr[0];++j){
            flg[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0){phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];break;}
            phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
        }
    }
}

---

線性篩莫比烏斯函數

這個很好辦。

首先，$\mu(p)=-1$

而後，將合數$n$分解成$n=px$（p是n最小的質因子），

若$p\nmid x$則$\mu(n)=-\mu(x)$

不然$\mu(n)=0$

int mu[maxn],pr[maxn];bool flg[maxn];
main(){
    mu[1]=1;
    for(rg int i=2;i<maxn;++i){
        if(!flg[i])pr[++pr[0]]=i,mu[i]=-1;
        for(rg int j=1;i*pr[j]<maxn&&j<=pr[0];++j){
            flg[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0){mu[i*pr[j]]=0;break;}
            mu[i*pr[j]]=-mu[i];
        }
    }

---

線性篩前N個數的約數個數

極其麻煩。

這個好像叫$d$函數

看$d=(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$

然而還不行，你還要記這個數的$a_1$（定義在上面）記爲$f$

首先，$d(p)=2,f(p)=1$

而後，將合數$n$分解成$n=px$（p是n最小的質因子），

若$p\nmid x$則$d(n)=2d(x),f(n)=1$（d乘2至關因而要不要新選p）

不然$f(n)=f(x)+1,d(n)=d(x)*\frac{f(n)+1}{f(x)+1}$

（我好像把這個套路粘了兩遍）

int pr[maxn],d[maxn],f[maxn];bool flg[maxn];
int main(){
    int n=gi();
    for(rg int i=1;i<=n;++i)d[i]=1;
    for(rg int i=2;i<=n;++i){
        if(!flg[i])pr[++pr[0]]=i,d[i]=2,f[i]=1;
        for(rg int j=1;i*pr[j]<=n&&j<=pr[0];++j){
            flg[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0){
                f[i*pr[j]]=f[i]+1;
                d[i*pr[j]]=d[i]/(f[i]+1)*f[i*pr[j]];
                break;
            }
            f[i*pr[j]]=1;
            d[i*pr[j]]=d[i]*2;
        }
    }
}