清晰理解堆排序

堆的定義

• 一個徹底二叉樹中，任意父結點老是大於或等於（小於或等於）任何一個子節點，則爲大頂堆（小頂堆）。

堆的數組存儲方式

徹底二叉樹適合採用順序存儲的方式，所以一個數組能夠當作一個徹底二叉樹。

• 節點編號：樹根起，自上層到下層，每層從左至右，給全部結點順序編號，能獲得一個反映整個二叉樹結構的線性序列。

• 編號特色：

從一個結點的編號就可推得其雙親，左、右孩子，兄弟等結點的編號。假設編號爲i的結點是ki(1≤i≤n)，則有：

　　①若i>1，則ki的雙親編號爲i/2；若i=1，則Ki是根結點，無雙親。

　　②若2i≤n，則Ki的左孩子的編號是2i；不然，Ki無左孩子，即Ki一定是葉子。所以徹底二叉樹中編號i>n/2的結點一定是葉結點。

　　③若2i+1≤n，則Ki的右孩子的編號是2i+1；不然，Ki無右孩子。

注：ki(0≤i≤n)知足數組下標時,則可能的左右孩子分別爲2i+一、2i+2。

堆排序的思想（以大頂堆爲例）

利用堆頂記錄的是最大關鍵字這一特性，每一輪取堆頂元素放入有序區，就相似選擇排序每一輪選擇一個最大值放入有序區，能夠把堆排序當作是選擇排序的改進。

1. 將初始待排序關鍵字序列(R0,R1,R2....Rn)構建成大頂堆，此堆爲初始的無序區；
2. 將堆頂元素R[0]與最後一個元素R[n]交換，此時獲得新的無序區(R0,R1,R2,......Rn-1)和新的有序區(Rn)；
3. 因爲交換後新的堆頂R[0]可能違反堆的性質，所以須要對當前無序區(R0,R1,R2,......Rn-1)調整爲新堆。

不斷重複此二、3步驟直到有序區的元素個數爲n-1，則整個排序過程完成。

 

篩選算法

//最難理解的地方

• 目標：一個全部子樹都爲堆的徹底二叉樹。意思就是這個二叉樹只差跟節點不知足堆的結構。//很重要，很重要，很重要

    以下圖：

• 方法：首先將root和它的左右子樹的根結點進行比較，把最大的元素交換到root節點；而後順着被破壞的路徑一路調整下去，直至葉子結點，就獲得新的堆。

• 運用：1.在上文提到的堆排序思想，2-3步驟中將無序區調整爲堆的時候用到。

          2.初始化堆

初始化堆

從最後一個非葉子節點i（i=n/2,n爲節點個數）開始，將以i爲根節點的二叉樹經過篩選調整爲堆。以第一張圖爲例，編號順序爲八、七、6...1。

從最後一個非葉子節就保證了篩選算法的正確性，由於篩選算法的目標是一個全部子樹都爲堆的徹底二叉樹。

java實現堆排序

package sort;

import java.util.Arrays;
import util.MathUtil;
/**
 * 經過大頂堆實現堆排序，升序排序
 * 
 */

public class HeapSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr={9,6,12,32,23,11,2,100,85};
        sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
    //這裏將i定義爲徹底二叉樹的根
    //將徹底二叉樹調整爲大頂堆,前提是二叉樹的根的子樹已經爲大頂堆。
    public static void adjustHeap(int[]a ,int i,int size){
        int lChild=2*i+1;        //左孩子
        int rChild=2*i+2;        //又孩子
        int max=i;                //臨時變量
        if(i<size/2){            //若是i是葉子節點就結束
            if(lChild<size&&a[max]<a[lChild])
                max=lChild;
            if(rChild<size&&a[max]<a[rChild])
                max=rChild;
            if(max!=i){
                MathUtil.swap(a, max, i);//交換後破環了子樹的堆結構
                adjustHeap(a, max, size);//遞歸，調節子樹爲堆
            }
        }
    }
    
    //創建堆，堆是從下往上創建的，由於adjustHeap函數是創建在子樹已經爲大頂堆。
    public static void buildHeap(int[]a,int size){    
        for(int i=size/2;i>=0;i--){//從最後一個非葉子節點，才能構成adjustHeap操做的目標二叉樹
            adjustHeap(a, i, size);
        }        
    }

    //將數組分爲兩部分，一部分爲有序區，在數組末尾，另外一部分爲無序區。堆屬於無序區
    public static void sort(int[] arr){
        int size=arr.length;
        buildHeap(arr, size);
        for(int i=size-1;i>0;i--){//i爲無序區的長度，通過以下兩步，長度遞減
            //堆頂即下標爲0的元素
            MathUtil.swap(arr, i, 0);//1.每次將堆頂元素和無序區最後一個元素交換，即將無序區最大的元素放入有序區
            adjustHeap(arr, 0, i);   //2.將無順區調整爲大頂堆，即選擇出最大的元素。
        }
    }    
}