數學基礎 - 向量

1. 向量(Vector)

向量指具備大小和方向的量。

2 基(Basic,基底)

2.1 線性無關

在一個向量空間\(V_n\)中，假設：

\(a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n = 0\)　　(式1)

只在 \(a_1 = ⋯ = a_n = 0\) 時成立，那麼向量 \(\{e_1, e_2, ..., e_n\}\) 是線性無關的。
若是任何 \(a_i\) 不爲零，那麼這些向量是線性相關的，其中一個向量是其餘向量的組合。

2.2 基底

在向量空間\(V_n\)中，任意向量\(P\)均可以由一組\(n\)個線性無關的向量集\(B_n\)組成，這樣的向量集\(B_n\)稱爲基底(基)。其定義以下：
向量空間 \(V_n\) 的基底 \(B_n\) 是一組 \(n\) 個線性無關的向量 \(\{e_1, e_2, ..., e_n\}\)，
對於任何 \(V_n\) 的向量 \(P\)，都存在實數 \(\{a_1, a_2, ..., a_n\}\)，使得

$P = a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n $　　(式２)