2012百度之星第二場初始題-1

問題描述：

    給定n個正整數， 要求從這些正整數中 取出若干個， 對他們進行xor(異或)計算， 尋找可能產生的最大值。

    xor運算有點相似於加法運算，可是它操做的是二進制的數字； 例如 101010 xor 111000 = 010010

    ok解決任何問題，首先找出一些實際的例子， 例如在 集合 {5, 3} 中尋找；

    首先寫成2進制的形式：

    1001  = 5

    0011  = 3

    有點相似於一個現行方程組矩陣的樣子;

    而咱們尋找的解是什麼呢？ 是這個方程組的xor 下的線性變化 產生的最大值 ？

    爲何？ 

        xor 知足交換律 和 結合律；

        線性變化，就是在不一樣的方程之間使用xor操做, 用產生的結果替換 原來的方程， 這個新的方程組和原來的方程組等價；

             爲何等價？

                      A xor B = C   =>  C xor B = A   C xor A = B  

                      原來的方程組能夠逆向獲得， 因此等價

   怎麼獲得最大值？

            採用高斯消元法 能夠獲得一個等價方程組， 例如集合{101010,  111000,  110101,  001111} 

            消元以後的結果是:

                100101
                010000
                001101
                000010

             這個方程組的每一個方程的維度是6， 可是整個方程組的度 是 4； 即六維空間裏面的一個4維的對象；

             這4個方程任意xor的最大值是就是這四個方程所有xor的結果：

            111010

            爲何？ 好比第四列爲0， 爲了使第四列爲1， 必須捨棄 第1 或 3 方程， 顯然都不行；

             而若是使6列爲1， 須要捨棄 1 或者 3方程， 顯然也不行；

             而若是捨棄某個 方程，也不合適， 會致使某一位變成0

             而由 xor的交換律 和結合律 能夠知道： 全部組合的最後化簡的結果 每一個方程最多出現一次 由於 A xor A = 0   0 xor B = B

如何證實這四個方程組的最大值就是 原來集合中的最大值呢？ 

             由xor的計算的可逆性，咱們能夠知道：

             由於在集合 {101010, 111000, 110101, 001111} 中的任意元素均可以由最後咱們計算的四個方程表示；

             因此集合中任意元素組合的xor結果均可以用 最後計算的4個方程表示。

             而這4個方程xor的結果 最大值是 111010  

             

上面的例子：

           這個例子是方程的個數小於 維度的一個例子；  能夠有3種狀況：

           個數 小於 維度；  獨立方程的個數 就是原方程組方程的個數；

           個數 等於 維度；   獨立方程的個數 等於 維度

           個數 大於 維度；   獨立方程的個數 等於 維度

而要計算次大值：

           能夠從化簡結果中捨棄一個最小的方程； 

           爲何？

                  捨棄最小的方程， 將會致使 某一位 變成0， 而這一位是獨立的； 其它位不會變化；

                  若是要使其它位變化， 

                                           要麼這個位自己是獨立的， 那麼 就比舍棄最小的要大；

                                           要麼這個位依賴於其它位， 那麼要麼依賴於最小的獨立位， 要麼依賴於其它的獨立位， 這樣產生的結果要麼等價於捨棄最小的方程，要麼等價於捨棄其它方程， 都不合適

產生結果的實際個數：

           4個方程的 任意組合 產生的結果的個數 是 2^4 = 16 (包含一個空集合）; 也就是4個方程的任意組合結果有16個

           對於一個32位二進制數， 最多有 2^32 種結果， 也就是32位二進制數自己的空間；