梯度、散度和旋度及在圖像處理中的應用(圖像融合)



對於有些人，看這些枯燥的公式符號是件痛苦的事情；但痛苦後總會有所欣喜，若是你充分利用它的話，你更能體會到他的美妙；先來幾張效果圖，激發你學習數學的慾望：

                  註釋：圖像融合效果，分別應用了不一樣的算法

在圖像圖形處理中， 梯度、散度和旋度 有很重要的做用，好比圖像修復中的解泊松方程，目標跟蹤等等，能夠說是他們無處不在。

來句廢話：可能有些人，對於數學符號裏面倒三角 正三角 符號的意思?與讀法感到迷惑，現稍做解釋；

△通常指拉普拉斯算子

▽讀Nabla,奈不拉,也能夠讀做「Del」 這是場論中的符號,是矢量微分算符.高等數學中的梯度,散度,旋度都會用到這個算符.其二階導數中旋度的散度又稱Laplace算符

繼續核心內容：

梯度、散度和旋度是矢量分析裏的重要概念。之因此是「分析」，由於三者是三種偏導數計算形式。這裏假設讀者已經瞭解了三者的定義。它們的符號分別記做以下：

                                 

                                 

                                

從符號中能夠得到這樣的信息：

①求梯度是針對一個標量函數，求梯度的結果是獲得一個矢量函數。這裏φ稱爲勢函數；

②求散度則是針對一個矢量函數，獲得的結果是一個標量函數，跟求梯度是反一下的；

③求旋度是針對一個矢量函數，獲得的仍是一個矢量函數。

這三種關係能夠從定義式很直觀地看出，所以能夠求「梯度的散度」、「散度的梯度」、「梯度的旋度」、「旋度的散度」和「旋度的旋度」，只有旋度能夠連續做用兩次，而一維波動方程具備以下的形式

                               (1)

其中a爲一實數，因而能夠設想，對於一個矢量函數來講，要求得它的波動方程，只有求它的「旋度的旋度」才能獲得。下面先給出梯度、散度和旋度的計算式：

                         (2)

                          (3)

                           (4)

旋度公式略顯複雜。這裏結合麥克斯韋電磁場理論，來討論前面幾個「X度的X度」。

 

I.梯度的散度：

根據麥克斯韋方程有：

                                  

而

                                  (5)

則電勢的梯度的散度爲

                            

這是一個三維空間上的標量函數，常記做

                                 (6)

稱爲泊松方程，而算符▽2稱爲拉普拉斯算符。事實上由於定義

                                

因此有

                               

固然，這只是一種記憶方式。

當空間內無電荷分佈時，即ρ=0，則稱爲拉普拉斯方程

                                      

當咱們僅須要考慮一維狀況時，好比電荷均勻分佈的無限大平行板電容器之間（不包含極板）的電場，咱們知道該電場只有一個指向，場強到處相等，因而該電場知足一維拉普拉斯方程，即

                                     

這就是說若是那邊平行板電容器的負極板接地，則板間一點處的電壓與該點距負極板的距離呈線性關係。

 

II.散度的梯度：

散度的梯度，從上面的公式中能夠看到結果會比較複雜，可是它的物理意義倒是很明確的，由於從麥克斯韋方程能夠看出空間某點處電場的散度是該點處的電荷密度，那麼再求梯度就是空間中電荷密度的梯度。這就比如說清水中滴入一滴紅墨水，起初水面紅色濃度最高，杯底濃度最低，這樣水面與杯底造成一個濃度梯度，紅墨水由水面向杯底擴散，最後均勻。在半導體中，載流子分佈的不均勻會致使擴散電流。

散度的梯度這個概念其實不經常使用，由於計算複雜，但在後面講用它來推導一個矢量恆等式。

 

III.梯度的旋度：

對於梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有

因爲勢函數在空間一點的領域內每每是有二階連續混合偏導數的，所以上式的結果爲0.因此說梯度的旋度爲零，它的物理意義也是很明確的。

好比一我的從海平面爬到一座山上，不管它是從山的陡坡爬上去仍是從緩坡爬上去，亦或者坐直升機上去，重力對他所作的功老是相等的，即力場的作工只與位移有關，而與路徑無關，這樣的場稱爲保守場，而保守場是無旋場。再好比繪有等高線的地圖，若是某點只有一個一根等高線穿過，那麼該點有一個肯定的相對高度。若是該點有兩條或以上的等高線穿過，則這個點處在懸崖邊上，這個點處是不可微，也就沒有求梯度的意義。

 

IV.旋度的散度：

求旋度的散度也是將(4)式代入(3)式便可。若令

                            (7)

則

                                      

                                

                                

從而

                                   

                             

                             

將上面三式相加結果也爲零。因此說旋度的散度爲零，這就意味着一個散度場任意疊加上一個有旋場不會改變其散度，也就是說光憑矢量場的散度沒法惟一地肯定這個矢量場。而光憑矢量場的旋度也沒法惟一地肯定這個矢量，這是由於有旋場能夠疊加上這麼一個矢量場而不改變其旋度，而這個矢量場是一個標量函數的梯度。

 

V.旋度的旋度：

旋度的旋度將是本文的重點。若所研究的空間範圍內是無源的，即ρ=0，J=0，則根據麥克斯韋方程有：

                                (8)

                             (9)

                                   (10)

                               (11)

對(9)式兩端取旋度

                          (12)

再將(8)式代入(12)式有

                             (13)

看到這裏容易讓人想到式(1)，前面說式(1)的方程爲一維波動方程，那麼跟(13)式有什麼聯繫呢？棘手的問題是算旋度已經夠複雜了，算旋度的旋度豈不是更費周折？幸虧有矢量恆等式能夠利用來幫助簡化計算，這裏要用到前面所講的散度的梯度。即有：

                          (14)

這裏拉普拉斯算子做用於一個矢量函數時，意義變得不明確了，它和前面的幾個「X度的X度」都不同，實際上它有這樣的定義：

                        (15)

爲了驗證式(14)仍是要對計算「旋度的旋度」，但之後能夠直接利用該式。仍是作(7)式那樣的處理，即令

                                

則

                                    

                              

                              

因而

               (16)

而令

                                     

             (17)

兩式相減有

               (18)

相似地有

                                    

                                    

因爲所關心的空間內是無源的，因此式(13)變成

                             (19)

這個方程很重要，稱爲三維波動方程，這也從理論上揭示了電磁波的存在。它的各份量展開後比較複雜，實際上咱們沒法繪製出一個向四面八方傳播的波的振動圖像，但好在能夠畫出一維和二維的波，從而瞭解波的性質。有些事物咱們沒法在現實世界中呈現，或繪製出圖形，可是數學上卻能夠計算且有確切的物理意義，好比高於三維的空間，不得不感嘆數學的神奇，感嘆咱們生活的世界的神奇。

 

VI.幾個矢量恆等式：

前面已經介紹了一個矢量恆等式，還有其餘幾個重要的恆等式。因爲三種「度」是三種不一樣微分算法，雖然有些場合能夠把▽當作一個普通的矢量來處理，但並不老是正確的，這一點須要引發注意。

①

 

 

②

 

這裏「×」乘的優先級高於「·」乘對於普通三個不共面的矢量A、B、C則有A·B×C=C·A×B=B·C×A。獲得的結果是令三個矢量共起點，以三個矢量的模爲棱構成的六面體的體積或它的負值。可是對於▽算子，則通常

                                   

可是通常有

                                

實際上上面的矢量恆等式就是上式的擴展

上兩式相減有

記憶上式的方法是記住下標的順序是xyz，yzx和zxy。

 

③

 

這個等式相對容易證實，但前提是要在直角座標下。