【數理統計】高等代數

高等代數

1、行列式

1.1求三階行列式：

計算方法：按圖計算，實線爲正號，虛線爲負號

1.2求n階行列式

1）計算排列逆序數

例1： 求32154的逆序數：

答：0+1+2+0+1=4

例2：求n(n-1)...21的逆序數：

答：n(n-1)/2

2）計算公式：逆序數爲奇數取負，爲偶數取正。

注意是 按行順序取數：a _1p1，a _2p2，...，a _npn

1.3行列式D的性質

一、D=D ^T

二、互換行列式2行（列），D改變正負號。

三、D中存在2行（列）徹底相同，則D爲0

四、D中存在元素全爲0的某行（列），則D爲0

五、D中存在兩行（列）對應元素成比例，則D爲0

六、行列式某一行（列）中全部元素同乘以k，等於k*D，便可以將公因子提到行列式外面

七、D的對某一行加上k*另外一行，則D不變

證實：

1.4元素a_ij的代數餘子式A_ij

一、公式

A _ij =（-1） ^i+j *M _ij

其中M _ij是D的餘子式，它由行列式D去掉元素a _ij去掉第i行j列後剩下的（n-1）個元素保持原位置組成的n-1階行列式。

二、求行列式：行列式的展開法則

D=a _i1A _i1+a _i2A _i2+...+a _inA _in（i=1，2，...，n）

例：

2、矩陣

2.1運算律

加法：

1）交換律：A+B=B+A

2）結合律：（A+B）+C=A+（B+C）

數乘：

1）結合律：（ λ μ）A= λ（ μA）

2）分配率： λ（A+B）= λA+ λB，（ λ+ μ）A= λA+ μA

2.2矩陣乘法

2.2.1公式

2.2.2運算律

1）結合律：（AB）C=A（BC）

2）分配律：A（B+C）=AB+AC，（B+C）A=BA+CA

3） λ（AB）=（ λA ）B=A（ λB ）

4）AE=A

5）A的冪運算： A ^k A ^l =A ^k+l ，（A ^k ） ^l =A ^kl

2.3轉置矩陣A^T的運算律

1）（A ^T） ^T=A

2）（A+B） ^T=A ^T+B ^T

3）（ λA）^T= λA^T， λ爲數

4）（AB） ^T=B ^TA ^T推廣到（A ₁A ₂...A _l ）^T =A_l^TA_l-1^T...A_l^T

2.4方陣

2.4.1行列式det（A）的運算律

1）|A^T|=|A|

2）| λA |= λⁿ|A |

3）|AB|=|AB|

2.4.2逆矩陣

1）公式

設A爲n階方陣，若存在一個n階方陣B使

AB=BA=E

則稱A是可逆的，B爲A的逆矩陣。

2）A的伴隨矩陣A^*

其中，A*中的元素Aij是|A|中aij的代數餘子式。

3）性質

1）AA ^* =A ^* A=|A|E

2）（A ^-1） ^-1=A

3）（λA） ^-1=1/ λ A^-1 （λ！=0）

4）|A ^-1|=|A| ^-1

5）（A ^T） ^-1=（A ^-1） ^T

6）A可逆，B可逆，AB也可逆，且（AB） ^-1=B ^-1A ^-1

 

• 奇異矩陣：A爲方陣，|A|=0；
• 非奇異矩陣：A爲方陣，|A|！=0；

若矩陣A可逆，則|A|！=0

2.5矩陣的秩與初等變換

2.5.1秩

矩陣A的r階子式D不等於0，而A的全部r+1階子式全爲0，則r稱爲矩陣A的秩，記爲R（A）=r。其中零矩陣的秩爲0。

2.5.2初等變換

2.5.2.1定義

1）對調某兩行r _i<-->r _j

2）以數k！=0乘以某一行中全部元素kr _i

3）把某一行全部元素的k倍加到另外一行對應元素上r _i+kr _j

等價矩陣：矩陣A初等變換獲得的矩陣B。記爲A~B

2.5.2.2性質

1）對A施行一次初等行變換至關於在A _m*n的左邊乘以初等矩陣P _{m* m；} 對A施行一次初等列變換至關於在A的右邊乘以初等矩陣Q _n*n

2）可逆矩陣A可標識成有限個初等矩陣的乘積A=P 1P2...Pl，由此可得

P ^-1（A|E）=（E|A ^-1）

A^-1（A|B）=（E|A^-1B）

例1：求A^-1

答：利用公式 P ^-1 （A|E）=（E|A ^-1 ）

例2：求 A ^-1 B

答：利用公式 A ^-1 （A|B）=（E|A ^-1 B）

3、方陣的特徵值與特徵向量

3.1定義

1）特徵值與特徵向量

設A是一個n階方陣，λ是一個數，若是方程

       

或

存在非零解向量X，則稱λ爲A的一個 特徵值，對應的X爲特徵值相應的 特徵向量。

2）特徵方程

這是n個未知數x，n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是係數行列式

即

上式是以 λ 爲未知數的一元次方程，稱爲方陣A的特徵方程：

  = =

由於特徵方程的解就是A的特徵值λ。 特徵方程在複數範圍內恆有解，其個數爲方程的次數（重根按重數計算），所以，n階矩陣A有n個特徵值。

3.2求解特徵值和特徵向量

例：

3.3性質

1）屬於不一樣特徵值的特徵向量必定線性無關。

2） λ

3） 類似：就是以前的等價矩陣

• 設A、B都是n階方陣，若存在滿秩矩陣P， 使得

則稱A與B類似，記做A~B ，且滿秩矩陣P稱爲將A變爲B的類似變換矩陣。

• 類似矩陣有相同的特徵多項式，於是有相同的特徵值。
• 若階矩陣與對角矩陣

                類似，則 便是A的n個特徵值。

4）特徵值 與矩陣的階數沒有任何關係， 能夠取任意大的值。只有在主成分分析和因子分析裏才強調 最大特徵值 λ。

 

 

參考資料：

一、 李宏偉，李星，李志明， 《工程高等代數》，科學出版社

二、 http://course.tjau.edu.cn/xianxingdaishu/jiao/5.htm

 

 

 

 

 

 

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