【BZOJ-4408】神祕數 可持久化線段樹

4408: [Fjoi 2016]神祕數

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Description

一個可重複數字集合S的神祕數定義爲最小的不能被S的子集的和表示的正整數。例如S={1,1,1,4,13}，

1 = 1

2 = 1+1

3 = 1+1+1

4 = 4

5 = 4+1

6 = 4+1+1

7 = 4+1+1+1

8沒法表示爲集合S的子集的和，故集合S的神祕數爲8。

現給定n個正整數a[1]..a[n]，m個詢問，每次詢問給定一個區間[l,r](l<=r)，求由a[l],a[l+1],…,a[r]所構成的可重複數字集合的神祕數。

Input

第一行一個整數n，表示數字個數。
第二行n個整數，從1編號。
第三行一個整數m，表示詢問個數。
如下m行，每行一對整數l,r，表示一個詢問。

Output

對於每一個詢問，輸出一行對應的答案。

Sample Input

5
1 2 4 9 10
5
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5

Sample Output

2
4
8
8
8

HINT

對於100%的數據點，n,m <= 100000，∑a[i] <= 10^9

Source

鳴謝yyh上傳

Solution

這道題挺好的思路。

首先考慮在集合中已經選出$k$個數的時候，再加入第$k+1$個數的狀況。

顯然有當$a_{k+1}>\sum ^{k}_{i=1} a_{k} +1$時，$ans=\sum ^{k}_{i=1} a_{k}+1$

不然顯然這個這些數能組合出的範圍擴大$a_{k+1}$

因此思路就是對於一個$ans$，求出$\sum ^{R}_{i=L} (a_{i}<ans) a_{i}$，若是這些數能組合到$ans$，那麼這個$ans$只能擴大，因此把$ans$擴大到$\sum ^{R}_{i=L} (a_{i}<ans) a_{i} +1$繼續作，不然獲得神祕數。

因此支持這樣作的仍是利用可持久化線段樹求出。

可是這樣的複雜度仍是比較暴力的，不過題目中說了$\sum a_{i}<10^{9}$因此複雜度最壞是 $O(MlogNlog10^{9})$

話說這題被xyx秒了....

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
	while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
	return x*f;
}
#define MAXN 100010

int N,M,a[MAXN];

namespace PrTree{
	int root[MAXN],sum[MAXN*20],lson[MAXN*20],rson[MAXN*20],sz;
	inline void Insert(int l,int r,int &x,int last,int pos,int val)
	{
		x=++sz;
		lson[x]=lson[last],rson[x]=rson[last];
		sum[x]=sum[last]+val;
		if (l==r) return;
		int mid=(l+r)>>1;
		if (pos<=mid) Insert(l,mid,lson[x],lson[last],pos,val);
			else Insert(mid+1,r,rson[x],rson[last],pos,val);
	}
	inline int Query(int l,int r,int L,int R,int x,int y)
	{
		if (L>R) return 0;
		if (L<=l && R>=r) return sum[y]-sum[x];
		int mid=(l+r)>>1,re=0;
		if (L<=mid) re+=Query(l,mid,L,R,lson[x],lson[y]);
		if (R>mid) re+=Query(mid+1,r,L,R,rson[x],rson[y]);
		return re;  
	}
}using namespace PrTree;

int ls[MAXN];

int main()
{
	N=read();
	for (int i=1; i<=N; i++) ls[i]=a[i]=read();
	
	sort(ls+1,ls+N+1); int tot=unique(ls+1,ls+N+1)-ls-1;
	
	for (int i=1; i<=N; i++) a[i]=lower_bound(ls+1,ls+tot+1,a[i])-ls;
	
	for (int i=1; i<=N; i++) PrTree::Insert(1,tot,root[i],root[i-1],a[i],ls[a[i]]);
	
	M=read();
	while (M--) {
		int l=read(),r=read();
		int ans=1,up,pos;
		while (1) {
			pos=upper_bound(ls+1,ls+tot+1,ans)-ls-1;
			if (ans<=(up=PrTree::Query(1,tot,1,pos,root[l-1],root[r])))
				ans=up+1;
			else break;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}