【數據結構】二分搜索樹小結
一、基本概念
二分搜索樹:（又：二分查找樹，二叉排序樹）它或者是一棵空樹，或者是具有下列性質：
若它的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；
若它的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值；
它的左、右子樹也分別爲二叉排序樹。
二、代碼實現
1.首先構建二分搜索數的基本結構
這裏使用泛型來構建，始終記住二分搜索樹存儲的元素必須有可比較性
size用來記錄二分搜索的元素個數
public class BST<E extends Comparable<E>> {
private class Node {
public E e;
public Node left, right;
public Node(E e) {
this.e = e;
left = null;
right = null;
}
}
private Node root;
private int size;
public BST() {
root = null;
size = 0;
}
public int size() {
return size;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
}
2.實現二分搜索樹的添加方法
//向二分搜索樹添加新的元素e
public void add(E e) {
root = add(root, e);
}
//向以node爲根的二分搜索樹中插入元素e，遞歸
//返回插入新節點後的二分搜索樹
private Node add(Node node, E e) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(e);
}
if (e.compareTo(node.e) < 0) {
node.left = add(node.left, e);
} else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
node.right = add(node.right, e);
}
//向以node爲根的二分搜索樹中插入元素e，但二分搜索樹的根還是node，所以返回根節點
return node;
}
3.實現二叉搜索樹的查詢方法
//判斷是否包含元素e
public boolean contains(E e) {
return contain(root, e);
}
private boolean contain(Node node, E e) {
if (node == null)
return false;
if (e.compareTo(node.e) == 0) {
return true;
} else if (e.compareTo(node.e) < 0) {
return contain(node.left, e);
} else{
return contain(node.right, e);
}
}
4.實現二叉樹的前、中、後序遍歷
1.前序遍歷
//前序遍歷
public void preOrder() {
preOrder(root);
}
//謙虛遍歷以node爲根的二分搜索樹，遞歸算法
private void preOrder(Node node) {
if (node == null)
return;
System.out.print(node.e);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
2.中序遍歷
//中序遍歷
public void inOrder() {
inOrder(root);
}
//中序結果爲從小到大
private void inOrder(Node root) {
if (root == null)
return;
inOrder(root.left);
System.out.print(root.e);
inOrder(root.right);
}
3.後序遍歷
//後序遍歷
public void postOrder() {
postOrder(root);
}
private void postOrder(Node root) {
if (root == null)
return;
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.e);
}
4.測試前、中、後遍歷
這裏先是構建了一個名爲bst的二分搜索樹，然後分別進行前、中、後序輸出
有兩個System.out.println是爲了將前、中、後序分行來輸出
public class Main {
public static void main(String[] args) {
BST<Integer> bst = new BST<>();
int[] nums = {5,3,6,8,4,2,1};
for(int num:nums)
bst.add(num);
bst.preOrder();
System.out.println();
bst.inOrder();
System.out.println();
bst.postOrder();
}
}
構建的二分搜索樹如下（每次添加元素都會先從root根結點開始向下比較）
測試結果:
前序：5321468
中序：1234568 注意!!! 可以發現二分搜索樹的中序遍歷結果是從小到大輸出元素的
後續：1243865
5.二叉搜索樹的層序遍歷
層序遍歷顧名思義就是一層一層的遍歷，也稱爲廣度優先遍歷
這裏藉助隊列實現層序遍歷，首先將root根節點添加到隊列中，然後移除root再將其左右子樹添加.....
public void levelOrder(){
Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
queue.add(root);
while (!queue.isEmpty()){
Node cur = queue.remove();
System.out.println(cur.e);
if(cur.left != null)
queue.add(cur.left);
if(cur.right != null)
queue.add(cur.right);
}
}
6.刪除二叉樹的最小、最大值結點
刪除二叉樹最小值結點思路：一遍遞歸尋找node,left==null; 的結點，該結點就是該二叉搜索樹的最小值結點，此時需要刪除該結點，只需將結點被賦值爲該結點的右子樹即可。
//從二分搜索樹中刪除小值所在結點，返回最小值
public E removeMin(){
//miniNode()函數返回該樹的最小值
E min = miniNode();
//removeMin()函數刪除該樹的最小值且返回刪除後最小值的根結點
root = removeMin(root);
return min;
}
private Node removeMin(Node node) {
//當node結點的左孩子爲空時，可以判斷出此時node爲此二叉搜索樹的最小值，所以刪除該結點
//使用該node結點的右子樹代替node
if(node.left==null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
刪除二叉樹最大值結點思路：一遍遞歸尋找node,right==null; 的結點，該結點就是該二叉搜索樹的最大值結點，此時需要刪除該結點，只需將結點被賦值爲該結點的左子樹即可。
public E removeMax(){
E max = maxNode();
root = removeMax(root);
return max;
}
private Node removeMax(Node node) {
if(node.right==null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}
node.right = removeMax(node.right);
return node;
}
注意：刪除二叉搜索樹只包含左孩子和只包含右孩子其實和刪除最小、最大值方法類似。
7.刪除二叉搜索樹的任意結點
對於上面的第6點，只是刪除最小或最大值的節點，最小和最大值節點對於二叉搜索樹而言絕對是葉子節點。
然而對於刪除二叉搜索樹的任意節點，此時就要考慮到如果待刪節點左右孩子都不爲空的情況。
對於下面的二叉搜索樹如果要刪除的節點是58，那麼刪除之後應該是用那個節點來代替58節點的位置呢？
仔細觀察下圖會發現可以選擇58節點右子樹後節點的最小值！也就是59號節點。所以也就是找到待刪節點右子樹後最小值，將該最小值去替代待刪節點 (前提是，該待刪節點左右孩子都不爲空，如果爲空就是上面第6點講的方法了~)
//刪除以node爲根的二分搜索樹中值爲e的結點
private Node remove(Node node, E e) {
if(node == null)
return null;
if(e.compareTo(node.e) < 0){
node.left = remove(node.left,e);
return node;
}else if(e.compareTo(node.e) > 0){
node.right = remove(node.right,e);
return node;
} else{
//如果該待刪節點左子樹爲空
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
//如果該待刪節點右子樹爲空
if(node.left == null){
Node leftNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return leftNode;
}
//待刪除節點左右子樹都不爲空
//調用miniNode函數找出node右子樹後最小的節點值
Node successor = miniNode(node.right);
//調用removeMin函數刪除node右子樹後最小值的節點
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
如果將上面代碼看懂了後，你也許會想到對於刪除有左右孩子的節點，也可以採用待刪節點的左孩子的最大值來代替自己！
如下圖待刪節點58，你也可以選擇用該待刪節點的左子樹中的最大值，就是53來代替自己