知多一點二進制中的負數

hello~親愛的看官老爺們新年好~相信很多同窗知道，若是要將一個數字轉換爲它的相反數，在 Javascript 中，除了在它前面加個-號以外，還能夠對該數字進行取反，以後再加 1。前者（本質是 0 減去對應的數字）能夠獲得相反數，徹底符合咱們的直覺，但爲什麼取反加一也能夠，這看起來不太科學，本文將帶你一探究竟~

友情提示，計算機科班的童鞋，對此應該是爛熟於心了，可能對你幫助有限。但不清楚其中細節的同窗，但願本文能知足你好奇心之餘，瞭解多一點二進制的知識。如下是正文~

從減法開始

估計各位童鞋確定聽過如下這條法則：

減去一個數，等於加上這個數的相反數。

同時也應該瞭解，爲了區分正負數，二進制中的最高位是符號位，其中正數的符號位是 0，而負數的符號位爲 1。以 Java 的 byte 類型（8位，範圍是 -128 ~ 127，即 00000000 至 11111111）爲例，若是按照直覺，既然最高位爲符號位，那麼 -1 應該表示爲 10000001。想法很美好，現實卻很骨感。

思考如下問題，儘管負數不肯定，但咱們確定正數 1 表示爲 00000001，若是須要獲得算式 1-1 的結果 ，按照上面的法則，能夠將算式轉化爲 1+(-1) 進行運算，可是 10000001 + 00000001，不管怎麼進行運算，彷佛都很可貴到 00000000 這個值吧？因而可知，計算機中儲存負數的值，並非那麼簡單的~

撥動時鐘

負數的探索彷佛陷入了死衚衕，那讓咱們先把目光轉移一下，從屏幕轉到牆上的時鐘之上~假設這個鍾時針和分針能夠分別進行調整，互不影響，且如今時鐘顯示的時間是 10:40，但對比北京時間，快了 10 分鐘，那麼咱們改如何調整時鐘呢？簡單地作個算式：

45
-   10
----------
    35
複製代碼

得出的答案是 35，那麼將分針調整到 35 的位置便可，也不須要調整時針。很簡單對吧？那若是如今時間也是 10:40，但時間快了 15 分鐘，那該如何調整？你心中估計會想，那還不簡單，豎式同樣能算出來~但這裏加一個需求，不但願豎式中出現借位（也就是 運算 40-15 時，因爲被減數個位不如減數個位大，須要被減數從十位中借 1 到個位之上），那該如何實現呢？

emmmmmmmm，彷佛比較麻煩~借位是因爲被減數的某一位不夠減數大而致使的，那若是被減數足夠大，彷佛就能解決這問題。原式是 40-15，能夠等價改寫爲 40+(59-15)-59，答案是徹底一致的。但這裏仍是有問題，運算兩次以後，剩下的算式爲 84-59，仍然要借位不是嗎？那咱們再改寫一下：40+(59-15)+1-60。這樣的算式運算下來，再也不須要借位了。換成時鐘操做，就是直接將分針調整到 25 便可。

看到這裏，估計你心中會多了一點明悟，但彷佛其中還有一些說不過去的地方對吧？好比這個例子：如今的時間是 10:15，如今的時間比北京時間快了 40 分鐘，那該如何進行運算呢？按照上面的例子，能夠依樣寫下這條算式 15+(59-40)+1-60，但問題來了，算到最後，是 35-60,仍是要借位不是嗎？

是，但能夠不是。-60 在時鐘上的本質是，將時針回撥一下。那麼 35-60，其實能夠分解爲兩個操做，時針撥動到 35 的位置，時針回撥到 9 的位置，如今的時間爲 09:35，難道不是正確的答案嗎？

不那麼同樣的數軸

在恍然大悟前先停一下，還有一點點東西須要瞭解。相信數軸的概念銘刻在各位心中，它是徹底符合直覺的，且數軸是無窮的，相信你們也都知道，通常印象中的數軸以下：

-60, -59, -58, -57···, -2, -1, 0, 1, 2···57, 58, 59

但若是數軸是有範圍的話，假設總共只有 120 個整數在數軸上，若是咱們想消除負號，那麼用正數表示負數，也何嘗不可，好比以 59 爲分界，大於 59 的數均爲負數。即 -1 表示爲 119，-40 表示爲 80，-25 表示爲 95 等：

60, 61, 62, 63···118, 119, 0, 1, 2···57, 58, 59

那麼以前時鐘的例子，是以 59 做爲避免借位的被減數，但這是爲了方便時鐘撥動，這裏咱們再往前跨一步，剛纔時鐘的運算：15-40 能夠表示爲 15+80，運算結果是 95，對錶查詢可得，95 的值表明的是 -25，運算正確！

你可能會吐槽減法是借位了，但主要是爲了方便映照時鐘的例子，換成 999 做爲避免借位的被減數，就是標準對 9 的補數。不妨在紙上畫一下，此時 -1 表示爲 999，-40 表示爲 959，-25 表示爲 974，15-40 即 015+959,運算結果是 974，也是徹底對應上的。

重回二進制

有了上面的鋪墊，二進制的負數已經呼之欲出啦~符號位自然能夠做爲正負數的分割點。仍是以 Java 的 byte 類型爲例，8 位一共能夠表示 256 個數字，因爲 0 表示爲 00000000，首位符號位也是 0，於是正數少一位，按照上一節的例子，推出當前序列爲：

10000001, 10000002···11111101, 11111110, 11111111, 00000000, 00000001···01111101, 01111110, 01111111

二進制數	十進制數
10000000	-128
10000001	-127
10000002	-126
···	···
11011000	-40
···	···
11100111	-25
···	···
00001111	15
···	···
01111111	127

那麼仍是這條算式：15-40，二進制中即爲 00001111+11011000,稍微數一下手指，得出答案是 11100111,對應的值爲 -25！然而，這個表背起來是沒意義的，那該如何運算呢？思考一下，以前運算 15-40 時，咱們轉換爲 15+(59-40)+1-60，59 爲足夠大的被減數，在 byte 類型中，最大的數不會超過 11111111（即 255），於是能夠轉換爲：

11111111(255)
-   00101000(40)
+   00000001(1)
+   00001111(15)
-  100000000(256)
複製代碼

二進制其實十分有趣，先觀察首先須要運算的 11111111-00101000，結果是 11010111，也就是各位取反，下一步是加一，獲得結果是 11011000，不就是表中 -40 對應的值了麼？因此該表的推導是有嚴格的數學意義的，並非隨便編造一個表，到這裏，應該明白爲什麼在計算機中，取某個數的相反數是取反再加一了吧~

算式最後一步是減去 256，計算機中這步均可以省下了，由於 256 已經超過 byte 的範圍，直接忽略。同理，若是計算如 -1+1 之類的算式時，會獲得答案是 256 （即 100000000），但因爲超過範圍，首位 1 直接被忽略不計，於是得出的答案是 0 。以上運算，符號位均參與運算，並不須要區別對待，這對計算機而言是很是友好的。

小結

爲嚴謹起見，補充兩個條件：

1. 運算數均爲整數。
2. 計算結果均不溢出。

以上就是全文的內容啦，二進制相關的知識，實際上是至關有意思的，也許瞭解它們並不會使咱們的代碼能力日新月異，但保持好奇心，不斷探索未知的領域，必定是一個良好的習慣~

感謝各位看官大人看到這裏，知易行難，但願本文對你有所幫助~謝謝！

參考資料

補碼

《編碼：隱匿在計算機軟硬件背後的語言》

程序是怎樣跑起來的