浮點數運算的機器偏差分析

用一個浮點數相加的例子來演示計算機在計算時所產生的偏差。

 

在Python中，用0.2+0.4 會獲得0.6000000000000001。

 

浮點數簡介

浮點數的表示方法：目前流行的浮點數標準是IEEE754。用64個bit來表示雙精度。

 

 

首位爲符號位s，0表明正，1表明負。

接下來的11位表明指數，將其理解爲一個無符號的數字e，例如，00000000011就表明3。定義指數（階碼）M和偏置Bias，其中偏置，定義，容易看出E的範圍爲-1022到+1023。對於單精度，。

最後的52位是編碼尾數M，第一位的權重是1/2，第二位的權重是1/4…  第52位的權重是。這裏有一個隱藏位，在首位以前，表明1.所以M的範圍其實是. 當52位全爲0時，M爲1 當全爲1時，M很是接近2，但還差了一個

 

浮點數. M在1到2之間，E在到，這二者配合不管是精度仍是範圍都足夠大了。

 

浮點數加法（以0.2+0.4爲例）

浮點數加法的計算步驟：浮點數有本身的一套計算方法，如下藉助例子詳細闡述，總之核心思想就是保持階碼一致，當須要移位的時候，就拋棄掉尾數的最後一位，由於這一位的權重最小，但就是拋棄尾數的最後幾位致使了偏差。

 

對階&移位-->有效數求和-->規格化-->舍入處理-->溢出判斷.

以0.2+0.4爲例逐步分析。

首先，利用http://www.binaryconvert.com  將0.2和0.4轉換爲二進制表示，以後從二進制到十進制的逆轉換一樣是由這個網站完成的。

0.2：0 01111111100 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

0.4：0 01111111101 1001100110011001100110011001100110011001100110011010

爲了下面闡述方便，直接將隱藏位也一塊兒寫出來。

0.2：0 01111111100 11001100110011001100110011001100110011001100110011010

0.4：0 01111111101 11001100110011001100110011001100110011001100110011010

 

簡單check一下，能夠看出0.2的階碼E=-3，也就是1/8，乘上M後能夠獲得0.2；同理0.4的階碼E=-2.

 1.     對階&移位

對階：先求階差，明顯0.2的階碼比0.4的階碼小1.

移位：小碼向大碼看齊，即將0.2的階碼變成-2，同時將尾數右移一位。這個操做其實就是讓階碼+1，致使原數V擴大兩倍，同時尾數右移一位，致使原數V縮小兩倍。兩者相互抵消。要注意在移動尾數時要連隱藏位一塊兒移動，同時拋棄末位。這樣一來0.2變爲：

0.2：0 01111111101 01100110011001100110011001100110011001100110011001101

 2.     有效數求和

將0.2和0.4的尾數求和，包含隱藏位

0.2：01100110011001100110011001100110011001100110011001101

0.4：11001100110011001100110011001100110011001100110011010

一樣利用一個小網站http://www.99cankao.com  來實現這一計算，計算結果已通過手動check，爲：

100110011001100110011001100110011001100110011001100111

有5位。

 3.     規格化

雙精度數字只容許尾數爲52位，因此上述求和的數字要進行規格化，即將原來的大階碼（-2）加一，變成-1，即01111111110

同時將尾數和右移，與前面移位中相似，階碼+1讓V乘以2，尾數右移讓V除以2。但要注意此時右移是不包括隱藏位的，簡單分析一下緣由：

若是不進行規格化，至關於：

100110011001100110011001100110011001100110011001100111

中，10的權重爲1，也即換位十進制爲1*2+0+1=2，再加上後面的小數，咱們這裏假設爲0.4（數字隨便取的，只爲了說明方便）。那麼此時尾數M=2.4. 爲了使其回到本來的浮點數表示，咱們將階碼加一，那麼相應的尾數就要除以2，變成1.2。在浮點數表示中，隱藏位始中給出一個1，就須要尾數給出0.2，這樣才能獲得1.2。那麼天然地，100110011001100110011001100110011001100110011001100111中，黑色部分給出0.4，將其右移一位，拋棄末位，就能夠獲得0.2。

綜上所述，規格化時尾數的移位不包括隱藏位，可是第一步移位的時候要帶上隱藏位，緣由是類似的，這裏就不展開了。

 4.     舍入處理

在對0.2規格化時，100110011001100110011001100110011001100110011001100111，末位是1，IEEE754的策略是0舍1入，所以去掉隱藏位，初位前加0，拋棄末位，並加一後變爲：

0011001100110011001100110011001100110011001100110100

 5.     溢出處理

整合獲得最後的結果爲

0 01111111110 0011001100110011001100110011001100110011001100110100

這就是咱們最後獲得的0.2+0.4得二進制表示，將其轉換爲十進制看一下結果：

0011111111100011001100110011001100110011001100110011001100110100

能夠看出最後的結果6.00000000000000088817841970013E-1，略大於0.6，在Python中將其處理爲0.6000000000000001也就很天然了。

 

總結

經過這個例子咱們能夠看出，計算機表示數字具備自然的偏差，無論你採用多高的精度，多少個bit，最後至少都會產生一個的偏差。