數據結構與算法——複雜度分析

時間  2020-12-20
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目錄

概述

從廣義上講，數據結構就是指一組數據的存儲結構。算法就是操做數據的一組方法。面試

數據結構和算法是相輔相成的。數據結構是爲算法服務的，算法要做用在特定的數據結構之上。好比，由於數組具備隨機訪問的特色，經常使用的二分查找算法須要用數組來存儲數據。但若是咱們選擇鏈表這種數據結構，二分查找算法就沒法工做了，由於鏈表並不支持隨機訪問。算法

想要學習數據結構與算法，首先要掌握一個數據結構與算法中最重要的概念——複雜度分析。它幾乎佔了數據結構和算法這門課的半壁江山，是數據結構和算法學習的精髓。編程

數據結構和算法解決的是如何更省、更快地存儲和處理數據的問題，所以，咱們就須要一個考量效率和資源消耗的方法，這就是複雜度分析方法。數組

下圖幾乎涵蓋了全部數據結構和算法書籍中都會講到的知識點：數據結構

可是，做爲初學者，或者一個非算法工程師來講，並不須要掌握圖裏面的全部知識點。下面總結了 20 個最經常使用的、最基礎數據結構與算法，無論是應付面試仍是工做須要，其實只要集中精力逐一攻克這 20 個知識點就足夠了：數據結構和算法

  • 10 個數據結構：數組、鏈表、棧、隊列、散列表、二叉樹、堆、跳錶、圖、Trie 樹；函數

  • 10 個算法：遞歸、排序、二分查找、搜索、哈希算法、貪心算法、分治算法、回溯算法、動態規劃、字符串匹配算法；性能

在學習數據結構和算法的過程當中，也要注意，不要只是死記硬背，不要爲了學習而學習，而是要學習它的「來歷」「自身的特色」「適合解決的問題」以及「實際的應用場景」。學習

時間複雜度分析

數據結構和算法自己解決的是「快」和「省」的問題，即如何讓代碼運行得更快，如何讓代碼更省存儲空間。因此，執行效率是算法一個很是重要的考量指標。那如何來衡量你編寫的算法代碼的執行效率呢？這裏就要用到咱們今天要講的內容：時間、空間複雜度分析。

大 O 複雜度表示法

關鍵結論：

假設每行代碼執行的時間都同樣，爲 $unitTime$，則全部代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數成正比。

咱們能夠把這個規律總結成一個公式：

其中，T(n) 咱們已經講過了，它表示代碼執行的時間；n 表示數據規模的大小；f(n) 表示每行代碼執行的次數總和。由於這是一個公式，因此用 f(n) 來表示。公式中的 O，表示代碼的執行時間 T(n) 與 f(n) 表達式成正比。

按照這個分析思路，咱們再來看這段代碼。

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }

第 二、三、4 行代碼，每行都須要 1 個 $unit Time$ 的執行時間，第 五、6 行代碼循環執行了 $n$ 遍，須要$ 2n * unitTime$ 的執行時間，第 七、8 行代碼循環執行了 $n^2$遍，因此須要 $2n^2* unitTime$ 的執行時間。因此，整段代碼總的執行時間 $T(n) = O(2n^2+2n+3)$。

大 O 時間複雜度實際上並不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增加的變化趨勢，因此，也叫做漸進時間複雜度（asymptotic time complexity），簡稱時間複雜度。

當 n 很大時，你能夠把它想象成 10000、100000。而公式中的低階、常量、係數三部分並不左右增加趨勢，因此均可以忽略。咱們只須要記錄一個最大量級就能夠了，若是用大 O 表示法表示剛講的那段代碼的時間複雜度，就能夠記爲：$T(n) = O(n^2)$。

時間複雜度分析

如何分析一段代碼的時間複雜度？咱們有三個比較實用的方法。

只關注循環執行次數最多的一段代碼

大 O 這種複雜度表示方法只是表示一種變化趨勢。咱們一般會忽略掉公式中的常量、低階、係數，只須要記錄一個最大階的量級就能夠了。因此，咱們在分析一個算法、一段代碼的時間複雜度的時候，也只關注循環執行次數最多的那一段代碼就能夠了。這段核心代碼執行次數的 n 的量級，就是整段要分析代碼的時間複雜度。

這裏我要再強調一下，即使某段代碼循環 10000 次、100000 次，只要是一個已知的數，跟 n 無關，照樣也是常量級的執行時間。當 n 無限大的時候，就能夠忽略。儘管對代碼的執行時間會有很大影響，可是回到時間複雜度的概念來講，它表示的是一個算法執行效率與數據規模增加的變化趨勢，因此無論常量的執行時間多大，咱們均可以忽略掉。由於它自己對增加趨勢並無影響。

多段同級代碼的總複雜度等於量級最大的那段代碼的複雜度

抽象成公式就是：
$$
若是 T_1(n)=O(f(n))，T_2(n)=O(g(n))；那麼 T(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).
$$
多個嵌套循環代碼的複雜度等於嵌套內外代碼複雜度的乘積

抽象成公式就是：
$$
若是 T_1(n)=O(f(n))，T_2(n)=O(g(n))；那麼 T(n)=T_1(n)T_2(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)*g(n)).
$$
舉個例子：

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
} 
 
int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
}

咱們單獨看 $cal()$ 函數。假設 $f()$ 只是一個普通$O(1)$的操做，那第 4～6 行的時間複雜度就是，$T_1(n) = O(n)$。但 $f()$ 函數自己不是一個簡單的操做，它的時間複雜度是 $T_2(n) = O(n)$，因此，整個 $cal()$ 函數的時間複雜度就是，$T(n) = T_1(n) * T_2(n) = O(n*n) = O(n^2)$。

幾種常見時間複雜度實例分析

雖然代碼千差萬別，可是常見的複雜度量級並很少。我稍微總結了一下，這些複雜度量級幾乎涵蓋了你從此能夠接觸的全部代碼的複雜度量級。

對於以上羅列的複雜度量級，咱們能夠粗略地分爲兩類，多項式量級和非多項式量級。其中，非多項式量級只有兩個：$O(2^n)$ 和 $O(n!)$。

咱們把時間複雜度爲非多項式量級的算法問題叫做 NP（Non-Deterministic Polynomial，非肯定多項式）問題。

當數據規模 n 愈來愈大時，非多項式量級算法的執行時間會急劇增長，求解問題的執行時間會無限增加。因此，非多項式時間複雜度的算法實際上是很是低效的算法。所以，關於 NP 時間複雜度咱們就不展開講了。咱們主要來看幾種常見的多項式時間複雜度。

O(1)

首先必須明確一個概念，O(1) 只是常量級時間複雜度的一種表示方法，並非指只執行了一行代碼。好比這段代碼，即使有 3 行，它的時間複雜度也是 O(1），而不是 O(3)。

int i = 8; 
int j = 6; 
int sum = i + j;

總結一下，只要代碼的執行時間不隨 n 的增大而增加，這樣代碼的時間複雜度咱們都記做 O(1)。或者說，通常狀況下，只要算法中不存在循環語句、遞歸語句，即便有成千上萬行的代碼，其時間複雜度也是Ο(1)。

O(logn)、O(nlogn)

對數階時間複雜度很是常見，同時也是最難分析的一種時間複雜度。咱們經過一個例子來講明一下。

i=1; 
while (i <= n) { 
	i = i * 2; 
}

根據咱們前面講的複雜度分析方法，第三行代碼是循環執行次數最多的。因此，咱們只要能計算出這行代碼被執行了多少次，就能知道整段代碼的時間複雜度。

從代碼中能夠看出，變量 i 的值從 1 開始取，每循環一次就乘以 2。當大於 n 時，循環結束。還記得咱們高中學過的等比數列嗎？實際上，變量 i 的取值就是一個等比數列。若是我把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：

因此，咱們只要知道 x 值是多少，就知道這行代碼執行的次數了。經過 $2^x=n$ 求解 x 這個問題咱們想高中應該就學過了，我就很少說了。$x=log_2n$，因此，這段代碼的時間複雜度就是 $O(log_2n)$。

如今，我把代碼稍微改下，你再看看，這段代碼的時間複雜度是多少？

i=1; 
 while (i <= n) {
 		i = i * 3; 
 }

根據我剛剛講的思路，很簡單就能看出來，這段代碼的時間複雜度爲 $O(log_3n)$。

實際上，無論是以 2 爲底、以 3 爲底，仍是以 10 爲底，咱們能夠把全部對數階的時間複雜度都記爲 $O(logn)$。爲何呢？

咱們知道，對數之間是能夠互相轉換的，$log_3n$ 就等於 $log_32 * log_2n$，因此 $O(log_3n) = O(C * log_2n)$，其中 $C=log_32$ 是一個常量。基於咱們前面的一個理論：在採用大 O 標記複雜度的時候，能夠忽略係數，即 $O(Cf(n)) = O(f(n))$。因此，$O(log_2n)$ 就等於 $O(log_3n)$。所以，在對數階時間複雜度的表示方法裏，咱們忽略對數的「底」，統一表示爲 $O(logn)$。

若是你理解了我前面講的 $O(logn)$，那 $O(nlogn)$ 就很容易理解了。還記得咱們剛講的乘法法則嗎？若是一段代碼的時間複雜度是 $O(logn)$，咱們循環執行 n 遍，時間複雜度就是 $O(nlogn)$ 了。並且，$O(nlogn)$ 也是一種很是常見的算法時間複雜度。好比，歸併排序、快速排序的時間複雜度都是 $O(nlogn)$。

O(m+n)、O(m*n)

再來說一種跟前面都不同的時間複雜度，代碼的複雜度由兩個數據的規模來決定。

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

從代碼中能夠看出，m 和 n 是表示兩個數據規模。咱們沒法事先評估 m 和 n 誰的量級大，因此咱們在表示複雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中一個。因此，上面代碼的時間複雜度就是 O(m+n)。

針對這種狀況，原來的法則就不正確了，咱們須要將規則改成：$T_1(m) + T_2(n) = O(f(m) + g(n))$。可是對於嵌套循環來講的乘法法則繼續有效：$T_1(m)*T_2(n) = O(f(m) * f(n))$。

最好、最壞狀況時間複雜度

分析一下這段代碼的時間複雜度。

// n表示數組array的長度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) pos = i;
  }
  return pos;
}

你應該能夠看出來，這段代碼要實現的功能是，在一個無序的數組（array）中，查找變量 x 出現的位置。若是沒有找到，就返回 -1。按照上節課講的分析方法，這段代碼的複雜度是 O(n)，其中，n 表明數組的長度。

咱們在數組中查找一個數據，並不須要每次都把整個數組都遍歷一遍，由於有可能中途找到就能夠提早結束循環了。可是，這段代碼寫得不夠高效。咱們能夠這樣優化一下這段查找代碼。

// n表示數組array的長度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

這個時候，問題就來了。咱們優化完以後，這段代碼的時間複雜度仍是 O(n) 嗎？很顯然，我們上一節講的分析方法，解決不了這個問題。

由於，要查找的變量 x 可能出如今數組的任意位置。若是數組中第一個元素正好是要查找的變量 x，那就不須要繼續遍歷剩下的 n-1 個數據了，那時間複雜度就是 O(1)。但若是數組中不存在變量 x，那咱們就須要把整個數組都遍歷一遍，時間複雜度就成了 O(n)。因此，不一樣的狀況下，這段代碼的時間複雜度是不同的。

爲了表示代碼在不一樣狀況下的不一樣時間複雜度，咱們須要引入三個概念：最好狀況時間複雜度、最壞狀況時間複雜度和平均狀況時間複雜度。

顧名思義，最好狀況時間複雜度就是，在最理想的狀況下，執行這段代碼的時間複雜度。就像咱們剛剛講到的，在最理想的狀況下，要查找的變量 x 正好是數組的第一個元素，這個時候對應的時間複雜度就是最好狀況時間複雜度。

同理，最壞狀況時間複雜度就是，在最糟糕的狀況下，執行這段代碼的時間複雜度。就像剛舉的那個例子，若是數組中沒有要查找的變量 x，咱們須要把整個數組都遍歷一遍才行，因此這種最糟糕狀況下對應的時間複雜度就是最壞狀況時間複雜度。

平均狀況時間複雜度

咱們都知道，最好狀況時間複雜度和最壞狀況時間複雜度對應的都是極端狀況下的代碼複雜度，發生的機率其實並不大。爲了更好地表示平均狀況下的複雜度，咱們須要引入另外一個概念：平均狀況時間複雜度，後面我簡稱爲平均時間複雜度。平均時間複雜度又該怎麼分析呢？我仍是藉助剛纔查找變量 x 的例子來解釋。

要查找的變量 x 在數組中的位置，有 n+1 種狀況：在數組的 0～n-1 位置中和不在數組中。咱們把每種狀況下，查找須要遍歷的元素個數累加起來，而後再除以 n+1，就能夠獲得須要遍歷的元素個數的平均值，即：

咱們知道，時間複雜度的大 O 標記法中，能夠省略掉係數、低階、常量，因此，我們把剛剛這個公式簡化以後，獲得的平均時間複雜度就是 O(n)。這個結論雖然是正確的，可是計算過程稍微有點兒問題。到底是什麼問題呢？咱們剛講的這 n+1 種狀況，出現的機率並非同樣的。

咱們知道，要查找的變量 x，要麼在數組裏，要麼就不在數組裏。這兩種狀況對應的機率統計起來很麻煩，爲了方便你理解，咱們假設在數組中與不在數組中的機率都爲 1/2。另外，要查找的數據出如今 0～n-1 這 n 個位置的機率也是同樣的，爲 1/n。因此，根據機率乘法法則，要查找的數據出如今 0～n-1 中任意位置的機率就是 1/(2n)。

所以，前面的推導過程當中存在的最大問題就是，沒有將各類狀況發生的機率考慮進去。若是咱們把每種狀況發生的機率也考慮進去，那平均時間複雜度的計算過程就變成了這樣：

這個值就是機率論中的加權平均值，也叫做指望值，因此平均時間複雜度的全稱應該叫加權平均時間複雜度或者指望時間複雜度。

引入機率以後，前面那段代碼的加權平均值爲 (3n+1)/4。用大 O 表示法來表示，去掉係數和常量，這段代碼的加權平均時間複雜度仍然是 O(n)。

實際上，在大多數狀況下，咱們並不須要區分最好、最壞、平均狀況時間複雜度三種狀況。像咱們上一節課舉的那些例子那樣，不少時候，咱們使用一個複雜度就能夠知足需求了。只有同一塊代碼在不一樣的狀況下，時間複雜度有量級的差距，咱們纔會使用這三種複雜度表示法來區分。

均攤時間複雜度

均攤時間複雜度，聽起來跟平均時間複雜度有點兒像。對於初學者來講，這兩個概念確實很是容易弄混。

平均複雜度只在某些特殊狀況下才會用到，而均攤時間複雜度應用的場景比它更加特殊、更加有限。

藉助一個具體的例子:

// array表示一個長度爲n的數組
 // 代碼中的array.length就等於n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    ++count;
 }

這段代碼實現了一個往數組中插入數據的功能。當數組滿了以後，也就是代碼中的 count == array.length 時，咱們用 for 循環遍歷數組求和，並清空數組，將求和以後的 sum 值放到數組的第一個位置，而後再將新的數據插入。但若是數組一開始就有空閒空間，則直接將數據插入數組。

那這段代碼的時間複雜度是多少呢？你能夠先用咱們剛講到的三種時間複雜度的分析方法來分析一下。

最理想的狀況下，數組中有空閒空間，咱們只須要將數據插入到數組下標爲 count 的位置就能夠了，因此最好狀況時間複雜度爲 O(1)。最壞的狀況下，數組中沒有空閒空間了，咱們須要先作一次數組的遍歷求和，而後再將數據插入，因此最壞狀況時間複雜度爲 O(n)。

那平均時間複雜度是多少呢？答案是 O(1)。咱們仍是能夠經過前面講的機率論的方法來分析。

假設數組的長度是 n，根據數據插入的位置的不一樣，咱們能夠分爲 n 種狀況，每種狀況的時間複雜度是 O(1)。除此以外，還有一種「額外」的狀況，就是在數組沒有空閒空間時插入一個數據，這個時候的時間複雜度是 O(n)。並且，這 n+1 種狀況發生的機率同樣，都是 1/(n+1)。因此，根據加權平均的計算方法，咱們求得的平均時間複雜度就是：

至此爲止，前面的最好、最壞、平均時間複雜度的計算，理解起來應該都沒有問題。可是這個例子裏的平均複雜度分析其實並不須要這麼複雜，不須要引入機率論的知識。這是爲何呢？咱們先來對比一下這個 insert() 的例子和前面那個 find() 的例子，你就會發現這二者有很大差異。

首先，find() 函數在極端狀況下，複雜度才爲 O(1)。但 insert() 在大部分狀況下，時間複雜度都爲 O(1)。只有個別狀況下，複雜度才比較高，爲 O(n)。這是 insert()第一個區別於 find() 的地方。

咱們再來看第二個不一樣的地方。對於 insert() 函數來講，O(1) 時間複雜度的插入和 O(n) 時間複雜度的插入，出現的頻率是很是有規律的，並且有必定的先後時序關係，通常都是一個 O(n) 插入以後，緊跟着 n-1 個 O(1) 的插入操做，循環往復。

因此，針對這樣一種特殊場景的複雜度分析，咱們並不須要像以前講平均複雜度分析方法那樣，找出全部的輸入狀況及相應的發生機率，而後再計算加權平均值。

針對這種特殊的場景，咱們引入了一種更加簡單的分析方法：攤還分析法，經過攤還分析獲得的時間複雜度咱們起了一個名字，叫均攤時間複雜度。

那究竟如何使用攤還分析法來分析算法的均攤時間複雜度呢？

咱們仍是繼續看在數組中插入數據的這個例子。每一次 O(n) 的插入操做，都會跟着 n-1 次 O(1) 的插入操做，因此把耗時多的那次操做均攤到接下來的 n-1 次耗時少的操做上，均攤下來，這一組連續的操做的均攤時間複雜度就是 O(1)。這就是均攤分析的大體思路。你都理解了嗎？

均攤時間複雜度和攤還分析應用場景比較特殊，因此咱們並不會常常用到。爲了方便你理解、記憶，我這裏簡單總結一下它們的應用場景。若是你遇到了，知道是怎麼回事兒就好了。

對一個數據結構進行一組連續操做中，大部分狀況下時間複雜度都很低，只有個別狀況下時間複雜度比較高，並且這些操做之間存在先後連貫的時序關係，這個時候，咱們就能夠將這一組操做放在一起分析，看是否能將較高時間複雜度那次操做的耗時，平攤到其餘那些時間複雜度比較低的操做上。並且，在可以應用均攤時間複雜度分析的場合，通常均攤時間複雜度就等於最好狀況時間複雜度。

儘管不少數據結構和算法書籍都花了很大力氣來區分平均時間複雜度和均攤時間複雜度，但其實我我的認爲，均攤時間複雜度就是一種特殊的平均時間複雜度，咱們不必花太多精力去區分它們。你最應該掌握的是它的分析方法，攤還分析。至於分析出來的結果是叫平均仍是叫均攤，這只是個說法，並不重要。

空間複雜度分析

前面我講過，時間複雜度的全稱是漸進時間複雜度，表示算法的執行時間與數據規模之間的增加關係。類比一下，空間複雜度全稱就是漸進空間複雜度（asymptotic space complexity），表示算法的存儲空間與數據規模之間的增加關係。看下面的例子：

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

跟時間複雜度分析同樣，咱們能夠看到，第 2 行代碼中，咱們申請了一個空間存儲變量 i，可是它是常量階的，跟數據規模 n 沒有關係，因此咱們能夠忽略。第 3 行申請了一個大小爲 n 的 int 類型數組，除此以外，剩下的代碼都沒有佔用更多的空間，因此整段代碼的空間複雜度就是 O(n)。

咱們常見的空間複雜度就是 O(1)、O(n)、O(n2)，像 O(logn)、O(nlogn) 這樣的對數階複雜度平時都用不到。並且，空間複雜度分析比時間複雜度分析要簡單不少。因此，對於空間複雜度，掌握以上述的這些內容已經足夠了。

內容小結

什麼是複雜度分析？

  1. 數據結構和算法解決是「如何讓計算機更快時間、更省空間的解決問題」。
  2. 所以需從執行時間和佔用空間兩個維度來評估數據結構和算法的性能。
  3. 分別用時間複雜度和空間複雜度兩個概念來描述性能問題，兩者統稱爲複雜度。
  4. 複雜度描述的是算法執行時間（或佔用空間）與數據規模的增加關係。

爲何要進行復雜度分析？

  1. 和性能測試相比，複雜度分析有不依賴執行環境、成本低、效率高、易操做、指導性強的特色。
  2. 掌握複雜度分析，將能編寫出性能更優的代碼，有利於下降系統開發和維護成本。

如何進行復雜度分析？

  1. 大O表示法
    算法的執行時間與每行代碼的執行次數成正比，用T(n) = O(f(n))表示，其中T(n)表示算法執行總時間，f(n)表示每行代碼執行總次數，而n每每表示數據的規模。以時間複雜度爲例，因爲時間複雜度描述的是算法執行時間與數據規模的增加變化趨勢，因此常量階、低階以及係數實際上對這種增加趨勢不產決定性影響，因此在作時間複雜度分析時忽略這些項。

  2. 複雜度分析法則
    1）單段代碼看高頻：好比循環。
    2）多段代碼取最大：好比一段代碼中有單循環和多重循環，那麼取多重循環的複雜度。
    3）嵌套代碼求乘積：好比遞歸、多重循環等
    4）多個規模求加法：好比方法有兩個參數控制兩個循環的次數，那麼這時就取兩者複雜度相加。

  3. 爲了表示代碼在不一樣狀況下的不一樣時間複雜度，引入最好狀況時間複雜度、最壞狀況時間複雜度、平均狀況時間複雜度、均攤時間複雜度。在引入這幾個概念以後，咱們能夠更加全面地表示一段代碼的執行效率。並且，這幾個概念理解起來都不難。最好、最壞狀況下的時間複雜度分析起來比較簡單，但平均、均攤兩個複雜度分析相對比較複雜。若是你以爲理解得還不是很深刻，不用擔憂，在後續具體的數據結構和算法學習中，咱們能夠繼續慢慢實踐！

經常使用的複雜度級別？

  1. 多項式階：隨着數據規模的增加，算法的執行時間和空間佔用，按照多項式的比例增加。包括，

    $$
    O(1)（常數階）、O(logn)（對數階）、O(n)（線性階）、O(nlogn)（線性對數階）、O(n2)（平方階）、O(n3)（立方階）
    $$

  2. 非多項式階：隨着數據規模的增加，算法的執行時間和空間佔用暴增，這類算法性能極差。包括，
    $$
    O(2^n)（指數階）、O(n!)（階乘階）
    $$

性能測試和複雜度分析的關係？

有人說，咱們項目以前都會進行性能測試，再作代碼的時間複雜度、空間複雜度分析，是否是畫蛇添足呢？並且，每段代碼都分析一下時間複雜度、空間複雜度，是否是很浪費時間呢？事實上，漸進時間，空間複雜度分析爲咱們提供了一個很好的理論分析的方向，而且它是宿主平臺無關的，可以讓咱們對咱們的程序或算法有一個大體的認識，讓咱們知道，好比在最壞的狀況下程序的執行效率如何，同時也爲咱們交流提供了一個不錯的橋樑，咱們能夠說，算法1的時間複雜度是O(n)，算法2的時間複雜度是O(logN)，這樣咱們馬上就對不一樣的算法有了一個「效率」上的感性認識。

固然，漸進式時間，空間複雜度分析只是一個理論模型，只能提供給粗略的估計分析，咱們不能直接判定就以爲O(logN)的算法必定優於O(n), 針對不一樣的宿主環境，不一樣的數據集，不一樣的數據量的大小，在實際應用上面可能真正的性能會不一樣.針對不一樣的實際狀況，進而進行必定的性能基準測試也是頗有必要的，好比在統一在某一批型號手機上(一樣的硬件，系統等等)進行橫向基準測試，進而選擇適合特定應用場景下的最優算法。

綜上所述，漸進式時間，空間複雜度分析與性能基準測試並不衝突，而是相輔相成的，可是一個低階的時間複雜度程序有極大的可能性會優於一個高階的時間複雜度程序，因此在實際編程中，時刻關心理論時間，空間度模型是有助於產出效率高的程序的，同時，由於漸進式時間，空間複雜度分析只是提供一個粗略的分析模型，所以也不會浪費太多時間，重點在於在編程時，要具備這種複雜度分析的思惟。

發散思考：算法分析中，一般分析最壞狀況仍是平均狀況？

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