數據結構與算法--複雜度

複雜度

​ 複雜度也叫漸進複雜度，包括時間複雜度和空間複雜度，用來分析算法執行效率與數據規模之間的增加關係。

​ 複雜度分析能夠在初期幫助程序員預估該程序的性能耗費。

​ 時間複雜度用於表示算法的時間耗費與數據規模增加之間的關係

​ 空間複雜度用於表示算法的存儲空間與數據規模增加之間的關係

時間複雜度

規則

1. 總複雜度等於量級最大的那段代碼的複雜度，好比說一個程序中存在兩段不一樣時間複雜度的代碼塊：

   int f(int n) {
     	int sum = 0;
       
       for (int i = 0; i < n; ++i) {
       	sum ++;
       }
     
     	for (int i = 0; i < n; ++i) {
       	for (int j = 0; j < n; ++j) {
               sum ++;
           }
    	} 
       
       return sum;
    }
   複製代碼

   第一個for循環的時間複雜度T1，和第二個嵌套for循環的時間複雜度T2分別爲：

   那麼整個程序的時間複雜度爲：

2. 若是量級大的代碼塊有多個，而咱們沒法事先評估誰的量級大，就不能簡單地省略其中一個，例如：

   int f(int n, int m) {
     	int sum = 0;
     
     	for (int i = 0; i < n; ++i) {
      		sum ++;
    	} 
    	
    	for (int i = 0; i < m; ++i) {
    		sum ++;
    	}
        
   	return sum;
    }
   複製代碼

   該函數的時間複雜度爲：

3. 乘法法則： 嵌套代碼的複雜度等於嵌套內外代碼複雜度的乘積，例如：

   int f(int n, int m) {
     	int sum = 0;
     
     	for (int i = 0; i < n; ++i) {
       	for (int j = 0; j < m; ++j) {
               sum += j;
           }
    	} 
        
   	return sum;
    }
   複製代碼

   該函數的時間複雜度爲：

常見的時間複雜度

​ 對於常量複雜度而言，執行時間不隨 n 的增大而增加的代碼，咱們都記做 O(1) 。 通常狀況下，只要算法中不存在循環語句、遞歸語句，即便有成千上萬行的代碼，其時間複雜度也是Ο(1)

​ 對於對數階複雜度而言， 無論是以 2 爲底、以 3 爲底，仍是以 10 爲底，咱們能夠把全部對數階的時間複雜度都記爲O(logn)

​ 對於指數階、階乘階複雜度而言， 當數據規模 n 增大，算法的執行時間會急劇增長 ，所以這兩類時間複雜度的算法是很是低效的算法不推薦使用

最好、最壞、平均時間複雜度

​ 上述狀況是程序必須執行完全部代碼得出的時間複雜度。而在不少狀況下，咱們不須要進行完整的遍歷或遞歸，例如查找一個數組中是否存在5：

int val[n];

bool find() {
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (val[i] == 5) {
			return true;
		}
	}
	
	return false;
}
複製代碼

​ 最好狀況時間複雜度是最理想狀況下執行這段代碼的時間複雜度，體如今上述代碼中，就是數組第一個元素是5，所以最好狀況時間複雜度爲O(1)

​ 最壞狀況時間複雜度是最糟糕狀況下執行這段代碼的時間複雜度 ，體如今上述代碼中，就是數組中不存在元素5，所以最壞狀況時間複雜度爲O(n)

​ 平均狀況時間複雜度是考慮全部可能發生的狀況、機率、以及對應耗費的時間，而後取平均值，體如今上述代碼中，就是考慮n+1種狀況(5出如今0~n-1位置 和 5沒有出現)及其機率、對應耗費的時間，獲得：

​ 因爲時間複雜度能夠省略掉係數、低階、常量，把這個公式簡化以後獲得的平均時間複雜度就是 O(n)

空間複雜度

規則

​ 規則與時間複雜度的三點相似，再也不贅述

​ 咱們能夠經過空間複雜度，來預估程序所耗費的內存。好比：

const int N = 1000000;

int[] val = new int[N];
複製代碼

​ int型佔四字節，對於O(n)空間複雜度的程序來講，當n爲1e6時，耗費的內存爲：

常見的空間複雜度

​ 比較常見的空間複雜度有：

​ 相比時間複雜度, O(logn)、O(nlogn)等對數階複雜度平時幾乎用不到~