多項式函數插值：多項式形式函數求值的Horner嵌套算法

　　設代數式序列 $q_1(t), q_2(t), ..., q_{n-1}(t)$ ，由它們生成的多項式形式的表達式（不必定是多項式）：

$$p(t)=x_1+x_2q_1(t)+...x_nq_1(t)q_2(t)..q_{n-1}(t)=\sum\limits_{i=1}^n(x_i\prod\limits_{j=1}^{i-1}q_j(t))$$　　通常來說，按照這個形式計算函數在 $t_0$ 點的取值的複雜度爲：n-1次 $q_i(t)$ 求值，n-1次浮點數乘法（生成n個不一樣的乘積），n-1次乘積和常係數浮點數乘法，n-1次浮點數加法 $\Rightarrow$ 總計n-1次 $q_i(t)$ 求值和 $T(n)\approx 3n$ 次浮點數運算。這須要在計算過程當中存儲保留一個 $\prod\limits_{j=1}^{i-1}q_j(t)$ 的結果，避免重複運算（那樣將會使得生成乘積的n次浮點乘法變成$n^2/2$ 次）。

　　利用Horner嵌套算法，能夠在 $T(n)\approx 3n$ 的基礎上再進一步。Horner嵌套算法的表達式是：$$p(t)=x_1+q_1(t)(x_2+q_2(t)(x_3+q_3(t)(...(x_{n-1}+q_{n-1}(t)x_n)...)))$$　　迭代的僞代碼能夠寫成：

$poly = x_n\\for\quad i = n -1 to 1\\ \quad poly = x_i+q_i(t)\times poly\\ end$

　　Horner嵌套算法須要n-1次 $q_i(t)$ 求值（這是免不了的），n-1次浮點數乘法，和n-1次浮點數加法，這將把複雜度再削減到n次求值和 $T(n)\approx 2n$ 次浮點數運算。考慮到函數求值是很是廣泛和基本的操做，即便只是在複雜度上打個折扣也是很是可觀的事情。所以形如上式的多項式型表達式，只要能夠使用Horner嵌套算法就應當使用。

　　Horner嵌套算法適用於經過單項式表達的多項式求值，即 $p(t)=x_1+x_2t+x_3t^2+...+x_nt^{n-1}$ ，此處 $q_1(t)=q_2(t)=...=q_n(t)=t$；一樣也適用於經過牛頓插值表達的多項式，即 $p(t)=x_1+x_2(t-t_1)+...+x_n(t-t_1)..(t-t_n)$ ，此處 $q_i(t)=t-t_i$ 。