多項式函數插值：計算基本理論

1. 函數插值問題

　　已知函數在離散點處的取值：$(t_i, y_i)$ ，恢復連續函數 $f: \mathbb{R}\Rightarrow \mathbb{R}$ 使得該連續函數在以上離散點處取得已知取值 $f(t_i)=y_i$ ，從而能夠求得該函數在離散點中間某一點的值，並得到導數等只有連續函數才具備的信息，或者便於進行數值積分、平滑濾波等操做，這樣的過程即爲函數插值。

　　一般來講，函數插值由一族基函數的疊加實現，或者說將已知離散點取值的函數轉化爲一族連續的基函數展開。即：

選取基函數 $\phi_1(t), \phi_2(t), ... \phi_n(t)$ ，求疊加係數 $x_i, i=1...m$ ，使得連續函數 $f(t)=\sum\limits_{i=1}^nx_i\phi_i(t)$ 知足 $f(t_j)=\sum\limits_{i=1}^nx_i\phi_i(t_j)=y_j, j=1...m$ 

　　所以，插值的過程也就是肯定該族基函數的疊加係數的過程。經常使用的基函數包括：

單項式基，將離散取值表達爲連續函數的多項式展開 $f(t)=\sum\limits_{k=0}^nx_kt^k$；

三角函數基，將離散取值表達爲連續函數的傅里葉級數展開 $f(t)=\sum\limits_{k=0}^n(a_ksinkt+b_kcoskt)$（也能夠看做是表達爲純虛數指數函數展開 $f(t)=\sum\limits_{k=-n}^nc_ke^{ikt}$ ）；

指數函數基，將離散取值表達爲連續（實）指數函數疊加 $f(t)=\sum\limits_{k=0}^na_ke^{kt}$；

有理分式基，將離散取值表達爲有理分式函數的疊加 

　　多項式函數插值專題將主要討論多項式展開的形式，多項式疊加形式在計算方法上一樣具備不少方法。

　　函數插值的應用很是普遍。對於離散的數據點，微分、積分都沒法定義，信號的平滑、濾波、加強對比等操做也無從談起。同時，對於實驗中離散的數據，如何得到中間點取值的估計值；對於已有的區間內的數據，是否能夠預測區間外部鄰近點的取值。這些都涉及函數插值的操做，當離散的函數點變爲一個在實數域上有定義的連續函數時，理論上天然就能夠求任意一點的估計值了。同時，在選取函數基底和疊加係數時，有時也須要根據離散數據考慮，是否要求連續插值函數保留單調性/具備奇偶性等。

 

2. 問題的性質

解的存在惟一性：

　　通常來講，當基函數已經肯定時，只須要求出疊加係數便可。這種狀況下至關於解一個線性方程組：已知 $\sum\limits_{i=1}^n\phi_j(t_i)x_j=y_i, i=1,2,...m$ 求解 $\boldsymbol{x_i}$ 。由於選取的疊加函數爲一組基函數，自己具備線性無關性，那麼除非在特殊的狀況下，矩陣 $(A_{ij})=\phi_j(t_i)$ 通常是非奇異的，那麼這就保證了多數狀況下係數矩陣是滿秩的。注意到變量 $\boldsymbol{x}$ 自己是n維的（對應n個基函數），而方程組包含的方程有m個（對應，即爲一個 $m\times n$ 維的係數矩陣，則有：$m>n \rightarrow$ 一般解不存在（超定）$\rightarrow$ 一般不存在符合要求的插值函數；$m<n \rightarrow$ 解必定不惟一，或者存在許多符合要求的插值函數；$m=n$ 時 $\rightarrow$ 一般存在惟一解，即存在惟一的插值函數。對於單項式基底，非奇異性是幾乎必然的。

問題的條件：

　　正如上一段的討論，在該種計算方法下，矩陣 $(A_{ij})=\phi_j(t_i)$ 從而成爲求解疊加係數的線性方程組的係數矩陣，$A$ 的條件數 $cond(A)$ 即爲問題的條件數。

 

3. 數值方法

基本的多項式函數插值方法大體能夠分爲兩類：

3.1 全域多項式函數插值

　　包括單項式基底插值，拉格朗日插值方法（每一個離散點取值獨立決定一項係數），牛頓插值方法，正交多項式基——勒讓德多項式基底插值方法、切比雪夫多項式基底插值方法。各類方法獲得的多項式本質上爲全同的多項式，可是各個數值方法的複雜度、條件數不一樣，操做效果也有差別。

3.2 分段多項式函數插值

　　包括厄米特插值（好比三次厄米特插值），樣條插值（k-1階連續可導的k階多項式）——三次樣條插值、B樣條插值等。這些方法的複雜度不一樣，插值效果和全域多項式函數插值結果顯然不一樣，且內部任意的參數變化也可能帶來比較大的差別。