1. 函數插值問題函數
已知函數在離散點處的取值:$(t_i, y_i)$ ,恢復連續函數 $f: \mathbb{R}\Rightarrow \mathbb{R}$ 使得該連續函數在以上離散點處取得已知取值 $f(t_i)=y_i$ ,從而能夠求得該函數在離散點中間某一點的值,並得到導數等只有連續函數才具備的信息,或者便於進行數值積分、平滑濾波等操做,這樣的過程即爲函數插值。
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一般來講,函數插值由一族基函數的疊加實現,或者說將已知離散點取值的函數轉化爲一族連續的基函數展開。即:it
選取基函數 $\phi_1(t), \phi_2(t), ... \phi_n(t)$ ,求疊加係數 $x_i, i=1...m$ ,使得連續函數 $f(t)=\sum\limits_{i=1}^nx_i\phi_i(t)$ 知足 $f(t_j)=\sum\limits_{i=1}^nx_i\phi_i(t_j)=y_j, j=1...m$ io
所以,插值的過程也就是肯定該族基函數的疊加係數的過程。經常使用的基函數包括:變量
單項式基,將離散取值表達爲連續函數的多項式展開 $f(t)=\sum\limits_{k=0}^nx_kt^k$;方法
三角函數基,將離散取值表達爲連續函數的傅里葉級數展開 $f(t)=\sum\limits_{k=0}^n(a_ksinkt+b_kcoskt)$(也能夠看做是表達爲純虛數指數函數展開 $f(t)=\sum\limits_{k=-n}^nc_ke^{ikt}$ );im
指數函數基,將離散取值表達爲連續(實)指數函數疊加 $f(t)=\sum\limits_{k=0}^na_ke^{kt}$;數據
有理分式基,將離散取值表達爲有理分式函數的疊加 co
多項式函數插值專題將主要討論多項式展開的形式,多項式疊加形式在計算方法上一樣具備不少方法。time
函數插值的應用很是普遍。對於離散的數據點,微分、積分都沒法定義,信號的平滑、濾波、加強對比等操做也無從談起。同時,對於實驗中離散的數據,如何得到中間點取值的估計值;對於已有的區間內的數據,是否能夠預測區間外部鄰近點的取值。這些都涉及函數插值的操做,當離散的函數點變爲一個在實數域上有定義的連續函數時,理論上天然就能夠求任意一點的估計值了。同時,在選取函數基底和疊加係數時,有時也須要根據離散數據考慮,是否要求連續插值函數保留單調性/具備奇偶性等。
2. 問題的性質
解的存在惟一性:
通常來講,當基函數已經肯定時,只須要求出疊加係數便可。這種狀況下至關於解一個線性方程組:已知 $\sum\limits_{i=1}^n\phi_j(t_i)x_j=y_i, i=1,2,...m$ 求解 $\boldsymbol{x_i}$ 。由於選取的疊加函數爲一組基函數,自己具備線性無關性,那麼除非在特殊的狀況下,矩陣 $(A_{ij})=\phi_j(t_i)$ 通常是非奇異的,那麼這就保證了多數狀況下係數矩陣是滿秩的。注意到變量 $\boldsymbol{x}$ 自己是n維的(對應n個基函數),而方程組包含的方程有m個(對應,即爲一個 $m\times n$ 維的係數矩陣,則有:$m>n \rightarrow$ 一般解不存在(超定)$\rightarrow$ 一般不存在符合要求的插值函數;$m<n \rightarrow$ 解必定不惟一,或者存在許多符合要求的插值函數;$m=n$ 時 $\rightarrow$ 一般存在惟一解,即存在惟一的插值函數。對於單項式基底,非奇異性是幾乎必然的。
問題的條件:
正如上一段的討論,在該種計算方法下,矩陣 $(A_{ij})=\phi_j(t_i)$ 從而成爲求解疊加係數的線性方程組的係數矩陣,$A$ 的條件數 $cond(A)$ 即爲問題的條件數。
3. 數值方法
基本的多項式函數插值方法大體能夠分爲兩類:
3.1 全域多項式函數插值
包括單項式基底插值,拉格朗日插值方法(每一個離散點取值獨立決定一項係數),牛頓插值方法,正交多項式基——勒讓德多項式基底插值方法、切比雪夫多項式基底插值方法。各類方法獲得的多項式本質上爲全同的多項式,可是各個數值方法的複雜度、條件數不一樣,操做效果也有差別。
3.2 分段多項式函數插值
包括厄米特插值(好比三次厄米特插值),樣條插值(k-1階連續可導的k階多項式)——三次樣條插值、B樣條插值等。這些方法的複雜度不一樣,插值效果和全域多項式函數插值結果顯然不一樣,且內部任意的參數變化也可能帶來比較大的差別。