斐波那契數列幾種算法及時間複雜度分析

參考：https://blog.csdn.net/beautyofmath/article/details/48184331

https://blog.csdn.net/ecjtu_yuweiwei/article/details/47282457

http://www.javashuo.com/article/p-pjwjenzq-bu.html   遞歸方式的時間複雜度分析彷佛有問題

 

1.遞歸

int fibonacci(int n) {if (n<=0) { return  0; } if (n==1) { return 1; } return fb(n-1)+fb(n-2); }

關於這種解法，再也不贅述，下面主要說下時間複雜度分析。 

設f(n)爲參數爲n時的時間複雜度，很明顯：f(n)=f(n-1)+f(n-2) 
這就轉化爲了數學上的二階常係數差分方程，而且爲齊次方程。 
即轉化爲了求f(n)的值，f(n)=f(n-1)+f(n-2)且f(0)=0; f(1)=1; 
特徵方程爲：x^2-x-1=0 
得 x=(1±√5)/2 
於是f(n)的通解爲: 

 

由f(0)=0; f(1)=1可解得c_1，c_2 
最終可得，時間複雜度爲： 

 

2.循環累計

避免了重複計算，時間複雜度爲O（n）。

int Fibonacci(int n) { if (n<=0) { return 0; } if (n==1) { return 1; } int min=0; int max=1; int i=2; int result=0; while (i<=n) { result=min+max; min=max; max=result; ++i; } return result; }

 

3.利用矩陣的乘法

根據遞歸公式能夠獲得

於是計算f(n)就簡化爲了計算矩陣的(n-2)次方，而計算矩陣的(n-2)次方，咱們又能夠進行分解，即計算矩陣(n-2)/2次方的平方，逐步分解下去，因爲折半計算矩陣次方，於是時間複雜度爲O(log n) 。

 

關於矩陣相乘算法可參考上面第三個連接，講的更爲詳細。

 

具體代碼實現以下：

//
// main.cpp // fibonaccimatrix //
// Created by shunagao on 15/8/31. // Copyright © 2015年 shunagao. All rights reserved. //  #include <iostream>
using namespace std; class Matrix { public: int n; int **m; Matrix(int num) { m=new int*[num]; for (int i=0; i<num; i++) { m[i]=new int[num]; } n=num; clear(); } void clear() { for (int i=0; i<n; ++i) { for (int j=0; j<n; ++j) { m[i][j]=0; } } } void unit() { clear(); for (int i=0; i<n; ++i) { m[i][i]=1; } } Matrix operator=(const Matrix mtx) { Matrix(mtx.n); for (int i=0; i<mtx.n; ++i) { for (int j=0; j<mtx.n; ++j) { m[i][j]=mtx.m[i][j]; } } return *this; } Matrix operator*(const Matrix &mtx) { Matrix result(mtx.n); result.clear(); for (int i=0; i<mtx.n; ++i) { for (int j=0; j<mtx.n; ++j) { for (int k=0; k<mtx.n; ++k) { result.m[i][j]+=m[i][k]*mtx.m[k][j]; } } } return result; } }; int main(int argc, const char * argv[]) { unsigned int num=2; Matrix first(num); first.m[0][0]=1; first.m[0][1]=1; first.m[1][0]=1; first.m[1][1]=0; int t; cin>>t; Matrix result(num); result.unit(); int n=t-2; while (n) { if (n%2) { result=result*first; } first=first*first; n=n/2; } cout<<(result.m[0][0]+result.m[0][1])<<endl; return 0; }