筆畫

題目描述

　　我們來玩一筆畫遊戲吧，規則是這樣的：有一個連通的圖，可否找到一個剛好包含了全部的邊，而且沒有重複的路徑。

1.1 輸入描述:

　　輸入包含多組數據。每組數據的第一行包含兩個整數n和m (2≤n, m≤1000)，其中n是頂點的個數，m是邊的條數。緊接着有m行，每行包含兩個整數from和to (1 ≤ from, to ≤ n, from != to)，分別表明邊的兩端頂點。邊是雙向的，而且兩個頂點之間可能不止一條邊。

1.2 輸出描述:

　　對應每一組輸入，若是能一筆畫則輸出「Yes」；不然輸出「No」。

1.3 輸入例子:

3 3
1 2
2 3
1 3
4 7
1 2
2 1
1 3
1 4
1 4
2 3
4 3

 

1.4 輸出例子:

Yes
No

 

2 解題思路

　　題目要求一個連通的有向圖是否能夠一筆畫完。這是一個可行遍性問題，即從圖中一個頂點出發不重複地遍歷完全部的邊並回到起始頂點，這種迴路是歐拉回路。在解答該問題前先對歐拉回路相關的內容進行介紹。

2.1 歐拉回路

2.1.1 歐拉通路、歐拉回路、歐拉圖

　　無向圖：
　　1) 設G 是連通無向圖，則稱通過G 的每條邊一次而且僅一次的路徑爲歐拉通路；
　　2) 若是歐拉通路是迴路（起點和終點是同一個頂點），則稱此迴路爲歐拉回路（Euler circuit）；
　　3) 具備歐拉回路的無向圖G 稱爲歐拉圖（Euler graph）。
有向圖：
　　1) 設D是有向圖，D的基圖連通，則稱通過D的每條邊一次而且僅一次的有向路徑爲有向歐拉通路；
　　2) 若是有向歐拉通路是有向迴路，則稱此有向迴路爲有向歐拉回路（directed Euler circuit）；
　　3) 具備有向歐拉回路的有向圖D稱爲有向歐拉圖（directed Euler graph）。
　　圖1是有向圖。

圖1 有向圖和無向圖

2.1.2 定理及推論

　　歐拉通路和歐拉回路的斷定是很簡單的，請看下面的定理及推論。
　　定理2.1　無向圖G存在歐拉通路的充要條件是：
　　G爲連通圖，而且G僅有兩個奇度結點（度數爲奇數的頂點）或者無奇度結點。
　　推論2.1：
　　1) 當G是僅有兩個奇度結點的連通圖時，G的歐拉通路必以此兩個結點爲端點。
　　2) 當G是無奇度結點的連通圖時，G必有歐拉回路。
　　3) G爲歐拉圖（存在歐拉回路）的充分必要條件是G爲無奇度結點的連通圖。
　　例如圖1(a)所示的無向圖，存在兩個奇度頂點v2和v5，因此存在歐拉通路，且歐拉通路必以這兩個頂點爲起始頂點和終止頂點；該無向圖不存在歐拉回路。圖2-1(b)所示的無向圖爲歐拉圖。
　　定理2.2　有向圖D存在歐拉通路的充要條件是：
　　D爲有向圖，D的基圖連通，而且全部頂點的出度與入度都相等；或者除兩個頂點外，其他頂點的出度與入度都相等，而這兩個頂點中一個頂點的出度與入度之差爲1，另外一個頂點的出度與入度之差爲-1。
　　推論2.2：
　　1) 當D除出、入度之差爲1，-1的兩個頂點以外，其他頂點的出度與入度都相等時，D的有向歐拉通路必以出、入度之差爲1的頂點做爲始點，以出、入度之差爲-1的頂點做爲終點。
　　2) 當D的全部頂點的出、入度都相等時，D中存在有向歐拉回路。
　　3) 有向圖D爲有向歐拉圖的充分必要條件是D的基圖爲連通圖，而且全部頂點的出、入度都相等。
　　例如圖1(c)所示的有向圖，頂點v2和v4入度和出度均爲1；頂點v1的出度爲二、入度爲1，兩者差值爲1；頂點v3的出度爲一、入度爲2，兩者相差爲-1；因此該有向圖只存在有向歐拉通路，且必須以頂點v1爲始點，以頂點v3爲終點。圖1(d)所示的有向圖不存在有向歐拉通路。

2.2 解題步驟

　　首先根據輸入構造圖的鄰接矩陣，經過鄰接矩陣判斷圖是否連通，不連通說明不能夠一筆畫完，若是連通，再判斷圖是否有奇度頂點，有就不能一筆畫完，沒有就說明能夠一筆畫完。

3 算法實現

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

/**
 * Declaration: All Rights Reserved !!!
 */
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
//        Scanner scanner = new Scanner(Main.class.getClassLoader().getResourceAsStream("data3.txt"));
        while (scanner.hasNext()) {
            int n = scanner.nextInt();
            int m = scanner.nextInt();

            // 記錄邊
            int[] edge = new int[m * 2];

            for (int i = 0; i < edge.length; i++) {
                edge[i] = scanner.nextInt();
            }

            if (draw(n, edge)) {
                System.out.println("Yes");
            } else {
                System.out.println("No");
            }

        }

        scanner.close();
    }

    /**
     * 圖是否能夠筆畫完（判斷無向圖是否存在歐拉通路）
     *
     * @param n    頂點點個數，頂點的編號從1到n
     * @param edge 邊的鏈接數組，兩個一塊兒表示一條邊
     * @return true：能夠一筆畫完，false：不能夠一筆畫完
     */
    private static boolean draw(int n, int[] edge) {

        int[] vertex = new int[n + 1];

        // 統計每一個頂點的度數
        for (int i : edge) {
            vertex[i]++;
        }


        ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
        // 無向圖G存在歐拉通路的充要條件是：G爲連通圖，而且G僅有兩個奇度結點（度數爲奇數的頂點）或者無奇度結點。
        ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

        // 統計奇度頂點個數
        int count = 0;
        for (int i = 1; i < vertex.length; i++) {
            if (vertex[i] % 2 != 0) {
                count++;
            }
        }

        // 奇度頂點不爲0且不爲2說明不存在歐拉通路
        if (count != 0 && count != 2) {
            return false;
        }


        // 構造邊的鄰接矩陣
        int[][] graph = new int[n + 1][n + 1];

        for (int i = 0; i < edge.length; i += 2) {
            int v = edge[i];
            int w = edge[i + 1];
            graph[v][w]++;
            graph[w][v]++;
        }

        // 清空頂號入度標記，將它做爲訪問標記使用，0表示沒有訪問過，1表示訪問過
        for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
            vertex[0] = 0;
        }

        List<Integer> list = new ArrayList<>(n);

        // 有向圖連通，那麼從任意一個頂點均可以訪問到其它的頂點
        // 從第一個頂點開始訪問，進行廣度優先遍歷
        vertex[1] = 1;
        list.add(1);
        while (!list.isEmpty()) {
            int v = list.remove(0);
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                // 邊(v, i)，t爲0說明v不能直接到i
                int t = graph[v][i];
                // 若是(v, i)可達，且頂點i沒有被訪問過，就標記已經訪問過，添加到訪問隊列中
                if (t != 0 && vertex[i] == 0) {
                    vertex[i] = 1;
                    list.add(i);
                }
            }
        }


        for (int i = 1; i < vertex.length; i++) {
            // 還有頂點沒有訪問到，說明圖不連通
            if (vertex[i] == 0) {
                return false;
            }
        }

        return true;
    }
}

 

4 測試結果