全體天然數的和是負十二分之一？

時間 2019-12-11

標籤全體天然十二分之一 1/12 简体版

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「全體天然數的和是-1/12」這個驚人的結論已經在互聯網上傳播了許多年，那麼，全體天然數的和是-1/12，這是怎麼來的？算法

一個最通俗，因此也最引人爭議的作法，是一種看上去很簡單的算術算法：函數

首先令S0=1-2+3-4+5-6……spa

咱們在大學裏的學過令它收斂到1/4的方法。blog

再令全體天然數的和爲S，減去這個S0，則有：百度

S-S0=0+4+0+8+0+12+0+16+……互聯網

　　=4*(1+2+3+4+....)=4S方法

也就是說-S0等於3個S，因此S等於負十二分之一。im

還有個誤解在黎曼ζ（zeta）函數的解析延拓有db

獲得了印證，讓不少人深信不疑。img

下面咱們探討一下S0和 S到底存不存在：

柯西和（就是高數書上的定義）

級數收斂的必要條件是通常項的極限是0

的通常項是

其極限不是0，因此 S0 不收斂.

的通常項是n ，其極限不是0，因此 S不收斂

Cesaro和

在此以前有必要了解一下Cesaro和的定義，它是部分和的平均，也就是

在Cesaro和的意義下， S0仍是不收斂的。

這是由於 $\sum_{i=1}^{n}s_i$ 奇數項是 $\frac{n+1}{2}$ ，偶數項是0 ，故 $S_0=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}s_i}$ 這個極限根本不存在，也即S0 沒有Cesaro和。

廣義Cesaro和

那麼，咱們再拓展一下，既然一次平均不行，咱們取部分和平均的平均，如何？

$\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}s_i)}$ 這就是廣義Cesaro和。

很幸運的是，這時候S0 終於能夠求和了，它在廣義Cesaro和的意義下是 1/4

Ramanujan和（拉馬努金和）

Ramanujan斷言，對於函數，定義新的和做爲Ramanujan和：

$\sum_{k=1}^{\infty}f(k)=-\frac{f(0)}{2}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0)$

小結

S0沒有柯西和，沒有Cesaro和，有廣義Cesaro和，有Ramanujan和

S沒有柯西和，沒有Cesaro和，沒有廣義Cesaro和，有Ramanujan和

嚴格來講，Rmanujan和，已經改變了原來「和」的定義。簡單來講，不知足結合律

舉個例子：

假設

$1+2+...=-\frac1{12}$

那麼

$0+1+2+...=-\frac1{12}$

$0=-\frac1{12}+\frac1{12}=(1-0)+(2-1)+...=1+1+...$

所以，

顯然，不成立

再看下再黎曼ζ函數下的誤解：

因爲黎曼ζ函數本來的定義是

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}$

（其中s爲複數），

若是把s取爲-1的話，等號右邊就變成了1+2+3+...這樣的「全體天然數之和」，彷佛

$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$

就天然推出了「全體天然數之和等於負十二分之一」。可是要注意，原始的黎曼ζ函數是定義在s的實部大於1的區間中的，也就是說原始的ζ(s)在s=-1時根本沒有意義。

那麼這個

$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$

是怎麼回事呢？這裏就須要介紹「解析延拓」這個概念。

假設兩個函數分別在兩個區域中解析，而這兩個區域有公共部分，在公共部分上兩個函數相等，那麼就能夠把這兩個函數在兩個區域的並集上的全體點的數值集，當作一個在兩區域的並集上解析的新函數，此時這兩個函數就是彼此的解析延拓。具體的例子能夠去百度。重點就是， $\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$ 是在黎曼ζ函數解析延拓後獲得的結果，能夠認爲此時的ζ(s)含義已經與以前不一樣，也天然不能將負十二分之一當作「全體天然數之和」

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