漢諾塔的圖解遞歸算法

原文連接：（轉載請註明出處）https://dmego.me/2016/10/16/hanoi

一．起源：

　　漢諾塔（又稱河內塔）問題是源於印度一個古老傳說的益智玩具。大梵天創造世界的時候作了三根金剛石柱子，在一根柱子上從下往上按照大小順序摞着64片黃金圓盤。大梵天命令婆羅門把圓盤從下面開始按大小順序從新擺放在另外一根柱子上。而且規定，在小圓盤上不能放大圓盤，在三根柱子之間一次只能移動一個圓盤。

二．抽象爲數學問題：

　　以下圖所示，從左到右有A、B、C三根柱子，其中A柱子上面有從小疊到大的n個圓盤，現要求將A柱子上的圓盤移到C柱子上去，期間只有一個原則：一次只能移到一個盤子且大盤子不能在小盤子上面，求移動的步驟和移動的次數

解：（1）n == 1

       　　　　　　第1次  1號盤  A---->C       sum = 1 次

       (2)  n == 2

       　　　　　　第1次  1號盤  A---->B

      　　　　　　 第2次  2號盤  A---->C

       　　　　　　第3次  1號盤  B---->C        sum = 3 次

　　（3）n == 3

　　　　　　　　第1次  1號盤  A---->C

　　　　　　　　第2次  2號盤  A---->B

　　　　　　　　第3次  1號盤  C---->B

　　　　　　　　第4次  3號盤  A---->C

　　　　　　　　第5次  1號盤  B---->A

　　　　　　　　第6次  2號盤  B---->C

　　　　　　　　第7次  1號盤  A---->C        sum = 7 次

 

不難發現規律：1個圓盤的次數 2的1次方減1

　　　　　　　2個圓盤的次數 2的2次方減1

                         3個圓盤的次數 2的3次方減1

                         。  。   。    。   。 

                         n個圓盤的次數 2的n次方減1

 故：移動次數爲：2^n - 1

三．調用方法的棧機制:（特色：先進後出）

       從主線程開始調用方法（函數）進行不停的壓棧和出棧操做，函數的調用就是將函數壓如棧中，函數的結束就是函數出棧的過程，這樣就保證了方法調用的順序流，即當函數出現多層嵌套時，須要從外到內一層層把函數壓入棧中，最後棧頂的函數先執行結束（最內層的函數先執行結束）後出棧，再倒數第二層的函數執行結束出棧，到最後，第一個進棧的函數調用結束後從棧中彈出回到主線程，而且結束。

四．算法分析（遞歸算法）：

       咱們在利用計算機求漢諾塔問題時，必不可少的一步是對整個實現求解進行算法分析。到目前爲止，求解漢諾塔問題最簡單的算法仍是同過遞歸來求，至因而什麼是遞歸，遞歸實現的機制是什麼，咱們說的簡單點就是本身是一個方法或者說是函數，可是在本身這個函數裏有調用本身這個函數的語句，而這個調用怎麼才能調用結束呢？，這裏還必須有一個結束點，或者具體的說是在調用到某一次後函數能返回一個肯定的值，接着倒數第二個就能返回一個肯定的值，一直到第一次調用的這個函數能返回一個肯定的值。

       實現這個算法能夠簡單分爲三個步驟：

　　　　（1）     把n-1個盤子由A 移到 B；

　　　　（2）     把第n個盤子由 A移到 C；

　　　　（3）     把n-1個盤子由B 移到 C；

從這裏入手，在加上上面數學問題解法的分析，咱們不難發現，移到的步數一定爲奇數步：

　　　　（1）中間的一步是把最大的一個盤子由A移到C上去；

　　　　（2）中間一步之上能夠當作把A上n-1個盤子經過藉助輔助塔（C塔）移到了B上，

　　　　（3）中間一步之下能夠當作把B上n-1個盤子經過藉助輔助塔（A塔）移到了C上；

五，java源代碼：

package demo;
/**
 * 目的：實現漢諾塔問題求解
 * 做者：Dmego  時間：2016-10-15
 */
import java.util.Scanner;

public class TowersOfHanoi {
    static int m =0;//標記移動次數
    //實現移動的函數
    public static void move(int disks,char N,char M)
    {
        System.out.println("第" + (++m) +" 次移動 : " +" 把 "+ disks+" 號圓盤從 " + N +" ->移到->  " + M);
    }
    //遞歸實現漢諾塔的函數
    public static void hanoi(int n,char A,char B,char C)
    {
        if(n == 1)//圓盤只有一個時，只需將其從A塔移到C塔
            TowersOfHanoi.move(1, A, C);//將編b號爲1的圓盤從A移到C
        else
        {//不然
            hanoi(n - 1, A, C, B);//遞歸，把A塔上編號1~n-1的圓盤移到B上，以C爲輔助塔
            TowersOfHanoi.move(n, A, C);//把A塔上編號爲n的圓盤移到C上
            hanoi(n - 1, B, A, C);//遞歸，把B塔上編號1~n-1的圓盤移到C上，以A爲輔助塔
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner imput = new Scanner(System.in);
        char A = 'A';
        char B = 'B';
        char C = 'C';
        System.out.println("******************************************************************************************");
        System.out.println("這是漢諾塔問題（把A塔上編號從小號到大號的圓盤從A塔經過B輔助塔移動到C塔上去");
        System.out.println("******************************************************************************************");
        System.out.print("請輸入圓盤的個數：");
        int disks = imput.nextInt();
        TowersOfHanoi.hanoi(disks, A, B, C);
        System.out.println(">>移動了" + m + "次，把A上的圓盤都移動到了C上");
        imput.close();
    }

}

六．圖解程序運行流程：

　　（1）函數hanoi(int n,char A,char B,char C)的功能是把編號爲n的圓盤藉助B從A移動到 C上。

　　（2）函數move(int n ,char N ,char M)的功能是把1編號爲n的圓盤從N 移到M上

 

七．程序運行截圖：