平方根的C語言實現(一) —— 浮點數的存儲

時間 2019-11-20

標籤平方根 c語言實現浮點數存儲简体版

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　　版權申明：本文爲博主窗戶(Colin Cai)原創，歡迎轉帖。如要轉貼，必須註明原文網址

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　　做者：窗戶

　　QQ：6679072

　　E-mail：6679072@qq.com

　　曾經作一個硬件成本極度控制的項目，由於硬件成本極低，而且還須要實現較高的精度測量，過程當中也本身用C語言實現了正弦、餘弦、反正切、平方根等函數。html

　　如下，不管是在個人實際項目中仍是本地的計算機系統，int都是4個字節且機器爲小端，除非特別說起，不然都如此默認。按理float的存儲沒有大小端之分，但是的確在powerpc大端上浮點數的存儲也同樣是和X86/ARM這樣的小端機相反。不過由於正好因大小端而決定浮點數的存儲順序，那麼本系列貼子裏全部的C語言程序至少在powerpc大端上也是效果相同的。算法

　　儘管在這個項目中我很是想用double來存儲小數，但由於這須要翻一倍的存儲，從而只好做罷，爲了那可憐的存儲，我一度甚至想考慮實現3字節的浮點數來，但大體估算了偏差（至於如何估算一個公式計算的偏差，須要先利用浮點數的結構求自變量的偏差，而後要用到數值分析求公式偏差，之後有機會開貼單說），實在不靠譜，因而仍是用float單精度4字節來存儲浮點數。此項目後面圍繞着精度、運算時間，從而調整了好幾回數據產生、乃至算法的原理，不過這都不是這個系列裏要講的。本系列只講單精度4字節浮點數的平方根實現，一共分爲三節：sql

　　第一節講浮點數的存儲；閉包

　　第二節講手算平方根的原理；函數

　　第三節講C語言最終實現。ui

　　咱們先看浮點數是如何表示實數的，IEEE 754定義了浮點數的結構：spa

　　在瞭解浮點數的存儲以前，咱們瞭解一下科學計數法。code

　　咱們日常用的進位製爲十進制，全部不爲0的實數均可以表示爲s*a*10ⁿ，其中：s取1或-1，稱爲符號部分；a知足1≤a<10，稱爲小數部分；n爲整數，稱爲指數部分。htm

　　咱們的計算機計數通常使用二進制，其道理不用我多說，浮點數也同樣用的二進制，用的是二進制下的科學計數法。仿照以前十進制下的科學計數法，便可得二進制下的科學計數。全部不爲0的實數，均可以表示爲s*a*10ⁿ，其中：s取1或-1，稱爲符號部分；a知足1≤a<2，稱爲小數部分；n爲整數，稱爲指數部分。32個bit中，最高位1個bits表示符號位s，緊接着的8個bits表示指數位，最後的23個bits表示a。blog

　　S(1bits) | N(8bits) | A(23bits)

　　用大寫表示，表明二進制，與科學計數法的s/n/a關係以下：

　　若S爲0，則s取1；若S爲1,則s取-1。

　　n = N_（2） - 127，這裏N_（2）是N的二進制值，

　　在符號不會混亂的時候，下面就用N來代替N_（2）

　　a = 1 + A_（2）*2^-23 ，這裏是A的二進制值，

　　在符號不會混亂的時候，下面就用A來代替A_（2）

　　浮點數和定點數同樣，也是離散的，4字節浮點數有32個bits，因此最多隻能表示2³²個不一樣的實數，是對實數的一種近似，但卻有很大的範圍，能夠知足咱們不少的需求了。

　　寫一個C語言程序來驗證這點:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <inttypes.h>
int main(int argc, char **argv)
{
        union {
                float f;
                uint32_t u;
        } n;
        int i;

        scanf("%f", &n.f);
        for(i=31;i>=0;i--) {
                if(n.u&(1u<<i))
                        printf("1");
                else
                        printf("0");
                if(i==31 || i==23)
                        printf(" ");
        }
        printf("\n");
        printf("S:%u\n", (n.u&(1u<<31))>>31);
        printf("N:%u\n", (n.u&(0xff<<23))>>23);
        printf("A:%u\n", n.u&0x7fffff);
        return 0;
}

　　隨便找幾個數驗證一下

$ echo 1 | ./a.out
0 01111111 00000000000000000000000
S:0
N:127
A:0
$ echo -1 | ./a.out
1 01111111 00000000000000000000000
S:1
N:127
A:0
$ echo 2 | ./a.out
0 10000000 00000000000000000000000
S:0
N:128
A:0
$ echo 3 | ./a.out
0 10000000 10000000000000000000000
S:0
N:128
A:4194304
$ echo 3.5 | ./a.out
0 10000000 11000000000000000000000
S:0
N:128
A:6291456
$ echo 3.75 | ./a.out
0 10000000 11100000000000000000000
S:0
N:128
A:7340032
$ echo 0.75 | ./a.out
0 01111110 10000000000000000000000
S:0
N:126
A:4194304
$ echo 0.875 | ./a.out
0 01111110 11000000000000000000000
S:0
N:126
A:6291456

上面的數都是知足的。

但是咱們再回頭看看，科學計數法其實也是有缺陷的，0實際上是沒法用科學計數法表示的，但是0使用的場合很是多，因此浮點數必須支持。因而單精度浮點數的2^32種表示中，不是每一種都是科學計數法。

IEEE754規定，單精度浮點數還支持非規格化的數，也就是否是科學計數法的數。

當指數位N爲0，也就是N的8個bits全是0的時候，符號位依然是符號位，

表示的數值是s* A*2^-149，

之因此後面的指數是149，是由於規格化的數所能表示的最小正數爲2^-126,

而N爲0的時候所表示的最大數爲(2²³-1)*2^-149,

二者十分接近,

$ echo 'scale=60;2^(-126);(2^23-1)*2^(-149);' | bc
.000000000000000000000000000000000000011754943508222875079687
.000000000000000000000000000000000000011754942106924410159919

編個C語言程序驗證一下

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <inttypes.h>
int main(int argc, char **argv)
{
        union {
                float f;
                uint32_t u;
        } n;
        int i;

        scanf("%" PRIx32, &n.u);
        for(i=31;i>=0;i--) {
                if(n.u&(1u<<i))
                        printf("1");
                else
                        printf("0");
                if(i==31 || i==23)
                        printf(" ");
        }
        printf("\n");
        printf("S:%u\n", (n.u&(1u<<31))>>31);
        printf("N:%u\n", (n.u&(0xff<<23))>>23);
        printf("A:%u\n", n.u&0x7fffff);
        printf("%.60f\n", n.f);
        return 0;
}

　　找幾個數驗證一下

$ echo 0x00000001 | ./a.out
0 00000000 00000000000000000000001
S:0
N:0
A:1
0.000000000000000000000000000000000000000000001401298464324817
$ echo 0x007fffff | ./a.out
0 00000000 11111111111111111111111
S:0
N:0
A:8388607
0.000000000000000000000000000000000000011754942106924410754870
$ echo 0x80000001 | ./a.out
1 00000000 00000000000000000000001
S:1
N:0
A:1
-0.000000000000000000000000000000000000000000001401298464324817
$ echo 0x807fffff | ./a.out
1 00000000 11111111111111111111111
S:1
N:0
A:8388607
-0.000000000000000000000000000000000000011754942106924410754870
$ echo 0x00000000 | ./a.out
0 00000000 00000000000000000000000
S:0
N:0
A:0
0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
$ echo 0x80000000 | ./a.out
1 00000000 00000000000000000000000
S:1
N:0
A:0
-0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

能夠看到，有0和-0的區別，浮點數的確就有這麼神奇。

另外，IEEE754規定，N等於127，也就是這8個bits全爲1的時候也是非規格數，分如下三種狀況：

S=0，N=127，A=0時，爲正無窮大；

S=1，N=127，A=0時，爲負無窮大；

N=127，A≠0是，爲NAN(not a number)。

同理，咱們仍是驗證一下：

$ echo 0x7f800000 | ./a.out
0 11111111 00000000000000000000000
S:0
N:255
A:0
inf
$ echo 0xff800000 | ./a.out
1 11111111 00000000000000000000000
S:1
N:255
A:0
-inf
$ echo 0x7f800001 | ./a.out
0 11111111 00000000000000000000001
S:0
N:255
A:1
nan
$ echo 0xff800001 | ./a.out
1 11111111 00000000000000000000001
S:1
N:255
A:1
nan