復旦高等代數I（19級）每週一題

本學期的高等代數每週一題活動計劃從第2教學周開始，到第15教學周結束，每週的週末公佈一道思考題（共14道，思考題通常與下週授課內容密切相關），供你們思考和解答。每週一題將經過「高等代數官方博客」（以博文的形式）和「高等代數在線課程19級課羣」（以課羣話題的形式）這兩個渠道同時發佈。有興趣的同窗能夠將每週一題的解答寫在紙上、拍成圖片，並上傳到每週一題對應的課羣話題中。本人會按期對每週一題的解答進行批改和評價，並將優秀解答標記出來推薦給全班同窗。

[問題2019A01]  請用教材第1章「行列式」中的方法求出下列 $n$ 階行列式的值 (注意: 不能使用教材第2章「矩陣」中的「矩陣乘法」、「Cauchy-Binet公式」和「降階公式」等方法):

(1) $|A|=\begin{vmatrix} 2a_1 & a_1+a_2 & \cdots & a_1+a_n \\  a_2+a_1 & 2a_2 & \cdots & a_2+a_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n+a_1 & a_n+a_2 & \cdots & 2a_n \\ \end{vmatrix}$,

(2) $|B|=\begin{vmatrix} 0 & a_1+a_2 & \cdots & a_1+a_n \\  a_2+a_1 & 0 & \cdots & a_2+a_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n+a_1 & a_n+a_2 & \cdots & 0 \\ \end{vmatrix}$.

[問題2019A02]  設 2019 階行列式 $$|A|=\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{2018} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{2018} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{2019} & x_{2019}^2 & \cdots & x_{2019}^{2018} \\ \end{vmatrix}.$$ 設 $|A|$ 的代數餘子式分別爲 $A_{ij}\,(1\leq i,j\leq 2019)$, 試求 $\sum\limits_{i,j=1}^{2019}(x_i^{2019}+j^{70})A_{ij}$.

[問題2019A03]  有限集合 $T$ 到自身上的一個雙射 (即既單又滿的映射) 稱爲 $T$ 上的一個置換 (Permutation), 集合 $S=\{1,2,\dots,n\}$ 的全體置換構成的集合記爲 $S_n$. 對任一 $\sigma\in S_n$, $(\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(n))$ 是 $S$ 的一個全排列; 反之, 對 $S$ 的任一全排列 $(k_1,k_2,\dots,k_n)$, 定義 $\sigma(i)=k_i\,(\forall\,1\leq i\leq n)$, 則 $\sigma$ 是 $S$ 的一個置換. 所以, 咱們能夠把 $S$ 的置換和全排列等同起來.

設 $\sigma,\tau\in S_n$, $\tau$ 與 $\sigma$ 的乘積 $\tau\sigma$ 定義爲 $\tau\sigma(i)=\tau(\sigma(i))\,(\forall\,1\leq i\leq n)$ (其實就是映射的複合), 容易驗證 $\tau\sigma\in S_n$ 且乘法知足結合律. 設 $e:S\to S$ 爲恆等映射, 即 $e(i)=i\,(\forall\,1\leq i\leq n)$, 則 $e\in S_n$. 由於 $\sigma:S\to S$ 是雙射, 因此其逆映射 $\sigma^{-1}:S\to S$ 也是雙射, 即 $\sigma^{-1}\in S_n$, 而且知足 $\sigma^{-1}\sigma=\sigma\sigma^{-1}=e$ (以上事實說明: $n$ 階置換全體 $S_n$ 構成一個羣, 稱爲 $n$ 階對稱羣).

設 $e_1,e_2,\dots,e_n$ 是 $n$ 維標準單位列向量 (定義見高代教材第 109 頁複習題 1), $\sigma\in S_n$, 定義矩陣 $$P_\sigma=(e_{\sigma(1)},e_{\sigma(2)},\dots,e_{\sigma(n)}),$$ 稱爲相伴於置換 $\sigma$ 的 $n$ 階置換矩陣. 置換矩陣的等價定義是: $n$ 階方陣 $P$ 的每行每列只有一個元素非零, 而且那些非零元素都等於 1. 設 $A$ 爲 $n$ 階方陣, $\sigma,\tau\in S_n$, 試證實如下結論 (第 3 小問說明: $n$ 階置換矩陣全體 $\mathcal{P}_n$ 構成一個羣, 它是 $n$ 階正交羣 $O(n)$ 的子羣, 而且 $P:S_n\to\mathcal{P}_n$, $\sigma\mapsto P_\sigma$, 是一個羣同構):

(1) 第一類初等矩陣 $P_{ij}$ (定義見高代教材第 84 頁), 基礎循環矩陣 $J$ (定義見高代白皮書第 56 頁的例 2.1) 和反單位陣 (定義見高代教材第 323 頁第 5 行最右端的矩陣) 都是置換矩陣.

(2) $|P_\sigma|=(-1)^{N(\sigma)}$, 其中 $N(\sigma)$ 是 $\sigma$ 做爲全排列的逆序數.

(3) $P_{\tau\sigma}=P_\tau P_\sigma$, $P_e=I_n$, $P_{\sigma^{-1}}=P_\sigma^{-1}=P_\sigma'$.

(4) $AP_\sigma$ 的列向量是 $A$ 的列向量的一個置換, 即 $AP_\sigma$ 的第 $i$ 列是 $A$ 的第 $\sigma(i)$ 列; $P_\sigma'A$ 的行向量是 $A$ 的行向量的一個置換, 即 $P_\sigma'A$ 的第 $i$ 行是 $A$ 的第 $\sigma(i)$ 行.

[問題2019A04]  試求

(1) 與全體循環矩陣 (定義見高代白皮書第 59 頁的例 2.12) 都乘法可交換的全部的 $n$ 階方陣.

(2) 與全體置換矩陣 $\{P_\sigma,\,\sigma\in S_n\}$ 都乘法可交換的全部的 $n$ 階方陣.

[問題2019A05]  求下列 $n$ 階方陣的行列式 (第四行的 $\cdots$ 表示平移, 其他空白處元素都爲零): 

$$\begin{pmatrix} a^2\!+\!bc & 2ab & b^2 & & & & & & & & \\ 2ac & a^2\!+\!2bc & 2ab & b^2 & & & & & & & \\ c^2 & 2ac & a^2\!+\!2bc & 2ab & b^2 & & & & & & \\ & & & & & \cdots & & & & & \\ & & & & & & c^2 & 2ac & a^2\!+\!2bc & 2ab & b^2 \\  & & & & & & & c^2 & 2ac & a^2\!+\!2bc & 2ab \\ & & & & & & & & c^2 & 2ac & a^2\!+\!bc \\ \end{pmatrix}.$$

[問題2019A06]  證實: $n$ 階非異陣 $A$ 僅經過第三類初等行變換就可變爲 $\mathrm{diag}\{1,\cdots,1,|A|\}$.

注  本題是白皮書例 2.34 的推廣.

[問題2019A07]  設循環矩陣 $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ n-1 & n & 1 & \cdots & n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}.$$

(1) 請用白皮書例 2.52 的結論計算 $|A|$, 並與白皮書例 1.21 (行列式求和法) 的結果進行比較.

(2) 設 $A_{ij}$ 是 $A$ 的第 $(i,j)$ 元素的代數餘子式, 求 $\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}$.

[問題2019A08]  (1) 請用攝動法和初等變換法證實: $n$ 階上三角陣 $A$ 的伴隨陣 $A^*$ 也是上三角陣.

(2) 請用復旦高代教材第 130 頁的習題 7 證實第 131 頁的命題 3.5.1: 若向量組 $S$ 至少包含一個非零向量, 則 $S$ 必存在極大無關組.