直積

集合A與集合B的直積(或笛卡爾乘積)是由A的元素x和B的元素y組成的有序對(x,y)的集合

記做$A \times B$，即$A \times B = \{ (x,y) | x \in A 且 y \in B \}$，以下圖：

n個集合$A_1,A_2,...,A_n$的直積爲$A_1 \times A_2 \times ...\times A_n = \{(x_1,x_2,...,x_n) | x_i \in A_i,i=1,2,...,n \}$

如：$R \times R = \{(x,y) | x,y \in R \}$表示$xOy$面(二維空間)上全體點的集合，記做:$R^2$

       同理，$R \times R \times R = \{(x,y,z) | x,y,z \in R \}$表示三維空間$Oxyz$全體點的集合，記做:$R^3$

　   $R \times R \times ... \times R = \{(x_1,x_2,...,x_n) | x_i \in R,i=1,2,...,n\}$表示n維空間全體點的集合，記做:$R^n$

 

題1：設$A=\{a,b,c\},B={x,y}$，求$A \times B$，$B \times A$和$B \times B$

解：$A \times B = \{(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y)\}$

　　$B \times A = \{(x,a),(y,a),(x,b),(y,b),(x,c),(y,c)\}$

　　$B \times B = \{(x,x),(x,y),(y,x),(y,y)\}$

　　通常$A \times B \ne B \times A$

 

題2：設$A=[a,b],b=[c,d]$，求$A \times B$

解：$A \times B = [a,b] \times [c,d] = \{(x,y) | a \leqslant x \leqslant b,c \leqslant y \leqslant d\}$

　　其圖形爲一矩形區域。以下圖：