動態規劃_01揹包

0-1 揹包問題：給定 n 種物品和一個容量爲 C 的揹包，物品 i 的重量是 wi，其價值爲 vi 。

問：應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？

 

分析一波，面對每一個物品，咱們只有選擇拿取或者不拿兩種選擇，不能選擇裝入某物品的一部分，也不能裝入同一物品屢次。

 

解決辦法：聲明一個 大小爲  m[n][c] 的二維數組，m[ i ][ j ] 表示 在面對第 i 件物品，且揹包容量爲  j 時所能得到的最大價值 ，那麼咱們能夠很容易分析得出 m[i][j] 的計算方法，

（1）. j < w[i] 的狀況，這時候揹包容量不足以放下第 i 件物品，只能選擇不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=w[i] 的狀況，這時揹包容量能夠放下第 i 件物品，咱們就要考慮拿這件物品是否能獲取更大的價值。

若是拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 這裏的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考慮了i-1件物品，揹包容量爲j-w[i]時的最大價值，也是至關於爲第i件物品騰出了w[i]的空間。

若是不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

到底是拿仍是不拿，天然是比較這兩種狀況那種價值最大。

 

由此能夠獲得狀態轉移方程：

if(j>=w[i])
    m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
    m[i][j]=m[i-1][j];

 

例：0-1揹包問題。在使用動態規劃算法求解0-1揹包問題時，使用二維數組m[i][j]存儲揹包剩餘容量爲j，可選物品爲i、i+一、……、n時0-1揹包問題的最優值。繪製

價值數組v = {8, 10, 6, 3, 7, 2}，

重量數組w = {4, 6, 2, 2, 5, 1}，

揹包容量C = 12時對應的m[i][j]數組。

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	0	0	0	8	8	8	8	8	8	8	8	8
2	0	0	0	8	8	10	10	10	10	18	18	18
3	0	6	6	8	8	14	14	16	16	18	18	24
4	0	6	6	9	9	14	14	17	17	19	19	24
5	0	6	6	9	9	14	14	17	17	19	21	24
6	2	6	8	9	11	14	16	17	19	19	21	24

(第一行和第一列爲序號，其數值爲0)
如m[2][6],在面對第二件物品，揹包容量爲6時咱們能夠選擇不拿，那麼得到價值僅爲第一件物品的價值8，若是拿，就要把第一件物品拿出來，放第二件物品，價值10，那咱們固然是選擇拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次類推，獲得m[6][12]就是考慮全部物品，揹包容量爲C時的最大價值。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;


const int N=15;


int main()
{
    int v[N]={0,8,10,6,3,7,2};
    int w[N]={0,4,6,2,2,5,1};


    int m[N][N];
    int n=6,c=12;
    memset(m,0,sizeof(m));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            if(j>=w[i])
                m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);


            else
                m[i][j]=m[i-1][j];
        }
    }


    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            cout<<m[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }


    return 0;
}

 

到這一步，能夠肯定的是可能得到的最大價值，可是咱們並不清楚具體選擇哪幾樣物品能得到最大價值。

另起一個 x[ ] 數組，x[i]=0表示不拿，x[i]=1表示拿。

m[n][c]爲最優值，若是m[n][c]=m[n-1][c] ,說明有沒有第n件物品都同樣，則x[n]=0 ; 不然 x[n]=1。當x[n]=0時，由x[n-1][c]繼續構造最優解；當x[n]=1時，則由x[n-1][c-w[i]]繼續構造最優解。以此類推，可構造出全部的最優解。（這段全抄算法書，實在不知道咋解釋啊。。）

void traceback()
{
    for(int i=n;i>1;i--)
    {
        if(m[i][c]==m[i-1][c])
            x[i]=0;
        else
        {
            x[i]=1;
            c-=w[i];
        }
    }
    x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;
}

例：

某工廠預計明年有A、B、C、D四個新建項目，每一個項目的投資額W_k及其投資後的收益V_k以下表所示，投資總額爲30萬元，如何選擇項目才能使總收益最大？

 

Project	Wk	Vk
A	15	12
B	10	8
C	12	9
D	8	5

結合前面兩段代碼

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N=150;

int v[N]={0,12,8,9,5};
int w[N]={0,15,10,12,8};
int x[N];
int m[N][N];
int c=30;
int n=4;
void traceback()
{
    for(int i=n;i>1;i--)
    {
        if(m[i][c]==m[i-1][c])
            x[i]=0;
        else
        {
            x[i]=1;
            c-=w[i];
        }
    }
    x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;
}

int main()
{


    memset(m,0,sizeof(m));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            if(j>=w[i])
                m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);

            else
                m[i][j]=m[i-1][j];
        }
    }/*
    for(int i=1;i<=6;i++)
    {
        for(int j=1;j<=c;j++)
        {
            cout<<m[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }
*/
    traceback();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<x[i];
    return 0;
}

 

輸出x[i]數組：0111，輸出m[4][30]：22。

得出結論：選擇BCD三個項目總收益最大，爲22萬元。

 

不過這種算法只能獲得一種最優解，並不能得出全部的最優解。