LeetCode 5198. 醜數 III（Java）容斥原理和二分查找

題目連接：5198. 醜數 III

請你幫忙設計一個程序，用來找出第 n 個醜數。

醜數是能夠被 a 或 b 或 c 整除的 正整數。

示例 1：

輸入：n = 3, a = 2, b = 3, c = 5
輸出：4
解釋：醜數序列爲 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10… 其中第 3 個是 4。

示例 2：

輸入：n = 4, a = 2, b = 3, c = 4
輸出：6
解釋：醜數序列爲 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12… 其中第 4 個是 6。

示例 3：

輸入：n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
輸出：10
解釋：醜數序列爲 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13… 其中第 5 個是 10。

示例 4：

輸入：n = 1000000000, a = 2, b = 217983653, c = 336916467
輸出：1999999984

提示：

• 1 <= n, a, b, c <= 10^9
• 1 <= a * b * c <= 10^18
• 本題結果在 [1, 2 * 10^9] 的範圍內

前言：

這是我第一次碰見 醜數 這個概念。

若是以前見過醜數的同窗可能會發現，此題的醜數定義和【醜數 - 百度百科】的定義是不一樣的。

此題的醜數定義：醜數是能夠被 a 或 b 或 c 整除的正整數。

題目比較坑的一點是示例 2 中的醜數序列是錯的，它缺乏 10。由於 10 能被 2 整除，因此 10 是醜數。

原本就沒見過醜數，它還弄個錯誤的示例，致使寫題的時候個人思路偏離。

題解：

知道醜數的定義，那麼能夠採用暴力搜索的方法找到第 n 個醜數。可是測試示例 4 的時候會 TLE。

所以需另尋他法。

給定一個數 n，和三個數 2，3，5，那麼區間 [1, n] 有多少個醜數呢？

根據定義：咱們知道 2 的倍數確定是醜數，有多少個 2 的倍數呢？固然是 n / 2 個啦（所有向下取整）。
同理 3 的倍數也是，有 n / 3 個。
5 的倍數有 n / 5 個。

如今你會發現另外一個問題，好比 6 是 2 的倍數，也是 3 的倍數。那豈不是計算了兩遍？沒錯，確實算了兩遍。所以咱們須要知道 【容斥原理 - 百度百科】。提及來陌生，可是我相信你們都用過。

所以，咱們能夠知道區間 [1, n] 的醜數個數了。即

$num=\lfloor\frac{n}{a}\rfloor+\lfloor\frac{n}{b}\rfloor+\lfloor\frac{n}{c}\rfloor-\lfloor\frac{n}{bc}\rfloor-\lfloor\frac{n}{ac}\rfloor-\lfloor\frac{n}{ab}\rfloor+\lfloor\frac{n}{abc}\rfloor$

代碼表示爲：num = n / a + n / b + n / c - n / bc - n / ac - n / ab + n / abc

須要注意的是，題目沒有說給的三個數是互質的，所以須要計算最小公倍數和最大公約數。

而後再用【二分查找 - 百度百科】逼近第 n 個醜數 $U_n$。

時間複雜度： 二分查找時間複雜度爲 $O(log2n)$
空間複雜度： $O(1)$

Java：

class Solution {
	public int nthUglyNumber(	int n,
								int a,
								int b,
								int c) {
		long ab = lcm(a, b);// a,b的最小公倍數
		long ac = lcm(a, c);
		long bc = lcm(b, c);
		long abc = lcm(ab, c);

		long left = 1, right = 2000000000;
		while (left < right) {
			long mid = left + right >> 1;// 中間值，+優先級高於>>
			// 利用容斥原理計算區間[1, mid]的醜數
			long num = mid / a + mid / b + mid / c;
			num -= mid / bc + mid / ac + mid / ab;
			num += mid / abc;
			if (num < n) {
				left = mid + 1;// 取區間[mid + 1, right]
			} else {
				right = mid;// 取區間[left, mid]
			}
		}
		return (int) left;
	}

	// 計算最小公倍數
	private long lcm(	long a,
						long b) {
		return a / gcd(a, b) * b;// 須要調用gcd
	}

	// 計算最大公約數
	private long gcd(	long a,
						long b) {
		return b > 0 ? gcd(b, a % b) : a;
	}
}