線性代數-總結（一）

線性代數的核心內容就是線性變換，前面主要從靜態和動態兩個方面進行描述，奇異值分解應該比矩陣對角化更爲通常，矩陣對角化只是它的特殊狀況而已，而對稱矩陣更是特殊的存在。到目前爲止我的認爲只是經過「線性代數及其應用一書」把線性變換的主要內容給講明瞭，還有不少方面未說起。總結內容以下：

一、向量自己是一個有大小和方向的量，所以向量能夠自由的平移。爲了研究的方便一般把向量放到一個座標系中進行研究，座標就是一個點的位置，0座標就是全部向量的起始點，因爲向量是兩點連線的方向和位移，所以從0座標出發到該向量值表示座標的連線表明該向量。

二、有了座標系後，咱們知道在不一樣的座標系中同一貫量的座標值也不一樣。並且咱們對向量的研究必定要放在某個特定的座標系中，若是不做特殊說明通常默認座標系爲單位矩陣。

三、座標系也叫作基，基必須由線性無關的向量構成，基向量的線性組合張成了空間。相同的空間能夠有無數的基，爲了研究方便常常用標準正交基（單位矩陣就是特殊的標準正交基，標準正交基一樣是無數個）。空間中包含無數個通過0座標的子空間（必需要過0座標）。線性無關向量的個數爲空間的維數（維數相同不表明空間相同，好比三維中的平面和二維平面不是同一個空間）。

四、矩陣是由多個向量構成的，若是向量線性無關那麼矩陣能夠看做空間的基，若是線性相關那麼矩陣中某個向量能夠被其他向量表示則該空間必定是子空間。向量X能夠表示成矩陣A*座標X`，向量X也能夠表示成矩陣A中各個向量的線性組合，組合的權重能夠表示成向量X`。

令X=A.X1=B.X2，X1和X2分別表示向量X在基A和B下的座標。X1=A-1.B.X2或者X2=B-1.A.X1，令P=A-1.B則P-1=B-1.A，P又叫作基變換矩陣。

五、矩陣A還能夠表示線性變換，此時向量X表明着某個固定對象並在某個基下有初始座標X1，而後經過A的做用後移動到座標X2的位置上，此時A至關於一個做用力並與基無關也就是脫離座標系的（例如線性變換A將向量拉伸2倍，在任何基下面它都將座標位置移動到初始位置2倍的座標處）。

六、矩陣A表示線性變換時是與基無關的，但一旦談及類似矩陣的時就與基相關了。它說的是同一線性變換在不一樣基下的表示方式（假設在你面前有一輛汽車從左向右飛馳而過，但對於你對面的人汽車是從他由右向左的方向行駛的，汽車的運動是固定的只是不一樣人觀察的視角不一樣），很明顯同一線性變換的類似矩陣有無數個。

七、矩陣A能夠對向量拉伸或者旋轉甚至是拉伸與旋轉並存，並且還存在着拉伸最大、次大的幅度。爲了更爲通常的討論，矩陣A能夠是方陣也能夠是長方形矩陣，要找出這樣的幅度就須要在全部的座標向量中尋找，爲了計算的方便：一、將所尋找的向量放在單位矩陣構成的基中討論；二、將座標向量設置爲單位向量（假設某個單位向量具備最大的拉伸幅度，那麼該單位向量上全部的向量都有相同的拉伸幅度）。該問題能夠描述爲求解|AX|的最大、次大值，進一步轉換爲在|X|=1下求解的最大、次大值。因爲，而爲對稱矩陣，根據

就能夠求出相應的解。

八、根據第7點按照奇異值分解固定步驟就能夠對全部矩陣進行分解，寫到這裏又出現蛋和雞的前後問題了：儘管奇異值分解能夠分解全部矩陣應該比方陣對角化更具通常性，可是奇異值分解依賴於對稱矩陣的對角化更依賴於方陣的對角化，因此通常書籍都是按照方陣對角化、對稱矩陣和二次型最後纔是奇異值分解的方式來講的，要是能將奇異值分解放在前面講就行了，由於我的傾向於從通常到特殊的思惟方式。