高數極限求解方法

高數極限求解方法(入門)

極限的定義這裏就很少說了，這裏主要講求解極限的方法，極限的形極主要跟 $0,1,a,\infty$相關，其中 $a$是不等於 $0,1,\infty$的實數。對於與 $a$相關的極限求解不須要什麼求解方法，直接代入值計算便可，下面主要講如下幾種形式的求解方法：
$1^\infty$、 $\frac{0}{0}$、 $\frac{\infty}{\infty}$

方法一､兩個重要極限

這兩個極限須要記住，在解題時將方程轉換成這兩個極限的形式便可直接得出答案。
$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sinx}{x}=1$
$\lim_{x\rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

方法二､等價無窮小代換

等價無窮小在 $x\rightarrow 0$時能夠等價替換，下面是等價無窮小的經常使用公式,它們能夠相互替換(==爲等價符號)：

$a^x-1 == xlna$

$arcsinx==sinx==x$

$arctanx==tanx==x$

$ln(x+1)==x$

$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}==x$

$(1+ax)^b-1==abx$

$1-cosx=\frac{x^2}{2}$

$x - ln(1+x)==\frac{x^2}{2}$

$tanx-sinx==\frac{x^3}{2}$

$tanx-x==\frac{x^3}{3}$

$x-arctanx==\frac{x^3}{3}$

$x-sinx==\frac{x^3}{6}$

$arcsinx-x==\frac{x^3}{6}$

方法三､洛必達法則

$\lim_{x\rightarrow a} \frac{F(x)}{G(x)}=\lim_{x\rightarrow a} \frac{F^′(x)}{G^′(x)}$

洛必達法則使用在 $\frac{0}{0}$、 $\frac{\infty}{\infty}$的形式， $F^′(x)$是 $F(x)$的導數， $G^′(x)$是 $G(x)$的導數，洛必達法則能夠說是萬能的法則，常用，結合方法一和方法二，全部形式均可以轉換爲 $\frac{0}{0}$或 $\frac{\infty}{\infty}$形式。

例題：
求 $lim_{x\rightarrow \infty}(\frac{x^2-1}{x^2+1})^x$的值。

其它方法

求解極限的方法還有泰勒公式和夾逼定理，這兩種方法在考試中用的比較少，這裏暫時不做介紹了。

證實點P的極限是否存在

步驟以下：
1､判斷點p是否在定義域內，若是不在定義域內則點p的極限不存在，若是在定義域內則執行步驟2;

2､計算 $\lim_{x\rightarrow p} F(x)$與 $F(p)$的值，若是不相等，則點p的極限不存在，若是相等，則點p的極限存在。

找出函數的斷點

步驟以下： 1､求定義域，不在定義域內的就是斷點； 2､若是是分段函數，則證實分段點的極限是否存在，若是不存在就是斷點。