整除分塊

前言

• 最近在學習莫比烏斯反演，發現了一個基本上全部的有關莫比烏斯反演的題目，都涉及到一個小的知識點： 整除分塊。
• 因此，在學習莫比烏斯反演以前學會整除分塊是頗有必要的。
• 那麼，我就來介紹一下整除分塊這一內容

整除分塊

• 能夠用到整除分塊的形式，大體是這樣的：
  \[\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\]
• 這個式子，\(O(n)\)計算是很是顯然的。但，有的時候由於多組數據的要求，可能\(O(n)\)並非正確的時間複雜度。那麼這個時候，咱們就有一種\(O(\sqrt{n})\)的作法。這就是：整除分塊！
• 對於每個\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)咱們能夠經過打表(或理性的證實)能夠發現：有許多\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)的值是同樣的，並且它們呈一個塊狀分佈；再經過打表之類的各類方法,咱們驚喜的發現對於每個值相同的塊，它的最後一個數就是\(n/(n/i)\)。得出這個結論後，咱們就能夠作的\(O(\sqrt{n})\)處理了。
  附一個整除分塊的代碼吧：

for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
    r=n/(n/l);
    ans+=(r-l+1)*(n/l);
}

與其餘函數的聯繫

• 有時候，可能推出來的式子不必定就是一個很裸的整除分塊，可能會與某些積性函數相乘，如：\(\mu,\varphi\)...... 這時候，咱們就須要對這些函數統計一個前綴和。由於，每當咱們使用整除分塊跳過一個區間的時候，其所對應的函數值也跳過了一個區間。因此此時，就須要乘上那一個區間的函數值。
• (固然，若是當出題人想要考考你的數論能力的話，這時就不是統計前綴和這麼簡單了。可能\(O(n)\)線篩都會TLE，那麼咱們就須要杜教篩了)
• (PS:關於杜教篩的內容，我沒過多久就會寫，那時候再填坑吧！)