編程之法：面試和算法心得（最大連續乘積子串）

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題目描述

給一個浮點數序列，取最大乘積連續子串的值，例如 -2.5，4，0，3，0.5，8，-1，則取出的最大乘積連續子串爲3，0.5，8。也就是說，上述數組中，3 0.5 8這3個數的乘積30.58=12是最大的，並且是連續的。

分析與解法

此最大乘積連續子串與最大乘積子序列不一樣，請勿混淆，前者子串要求連續，後者子序列不要求連續。也就是說，最長公共子串（Longest CommonSubstring）和最長公共子序列（LongestCommon Subsequence，LCS）是：

• 子串（Substring）是串的一個連續的部分，
• 子序列（Subsequence）則是從不改變序列的順序，而從序列中去掉任意的元素而得到的新序列；

更簡略地說，前者（子串）的字符的位置必須連續，後者（子序列LCS）則沒必要。好比字符串「 acdfg 」同「 akdfc 」的最長公共子串爲「 df 」，而它們的最長公共子序列LCS是「 adf 」，LCS可使用動態規劃法解決。

解法一

或許，讀者初看此題，可能立馬會想到用最簡單粗暴的方式：兩個for循環直接輪詢。

但這種蠻力的方法的時間複雜度爲O(n^2)，可否想辦法下降時間複雜度呢？

解法二

考慮到乘積子序列中有正有負也還可能有0，咱們能夠把問題簡化成這樣：數組中找一個子序列，使得它的乘積最大；同時找一個子序列，使得它的乘積最小（負數的狀況）。由於雖然咱們只要一個最大積，但因爲負數的存在，咱們同時找這兩個乘積作起來反而方便。也就是說，不但記錄最大乘積，也要記錄最小乘積。

假設數組爲a[]，直接利用動態規劃來求解，考慮到可能存在負數的狀況，咱們用maxend來表示以a[i]結尾的最大連續子串的乘積值，用minend表示以a[i]結尾的最小的子串的乘積值，那麼狀態轉移方程爲：

maxend = max(max(maxend * a[i], minend * a[i]), a[i]); minend = min(min(maxend * a[i], minend * a[i]), a[i]); 

初始狀態爲maxend = minend = a[0]。

參考代碼以下：

 public static double  maxProductSubstring(double[] a)
    {
        double maxEnd = a[0];
        double minEnd = a[0];
        double maxResult = a[0];
        for (int i = 1; i < a.length; ++i)
        {
            double end1 = maxEnd * a[i], end2 = minEnd * a[i];
            maxEnd = Math.max(Math.max(end1, end2), a[i]);
            minEnd = Math.min(Math.min(end1, end2), a[i]);
            maxResult = Math.max(maxResult, maxEnd);
        }
        return maxResult;
    }

 

動態規劃求解的方法一個for循環搞定，因此時間複雜度爲O(n)。