約瑟夫環問題【劍指offer-45】

約瑟夫環問題的原來描述爲，設有編號爲1，2，……，n的n(n>0)我的圍成一個圈，從第1我的開始報數，報到m時中止報數，報m的人出圈，再從他的下一我的起從新報數，報到m時中止報數，報m的出圈，……，如此下去，直到全部人所有出圈爲止。當任意給定n和m後，設計算法求n我的出圈的次序。  稍微簡化一下。

        問題描述：n我的（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。 

思路：容易想到的就是用環鏈表來作，構建一個環鏈表，每一個結點的編號爲0, 1, ...... n-1。每次從當前位置向前移動m-1步，而後刪除這個結點。最後剩下的結點就是勝利者。給出兩種方法實現，一種是自定義鏈表操做，另外一種用是STL庫的單鏈表。不難發現，用STL庫能夠提升編寫速度。

struct ListNode
{
int num;//編號
ListNode *next;
};
//自定義鏈表實現
int JosephusProblem_Solution1(int n, int m)
{
if(n < 1 || m <1)return -1;
ListNode *pHead = new ListNode();//頭結點
ListNode *pCurrentNode = pHead;//當前結點
ListNode *pLastNode = NULL;//前一個結點
unsigned i;
//構造環鏈表
for(i = 1; i<n ; i++)
{ 
pCurrentNode->next = new ListNode(i);
pCurrentNode = pCurrentNode->next;
}
pCurrentNode->next = pHead;

//循環遍歷
pLastNode = pCurrentNode;
pCurrentNode = pHead;

while(pCurrentNode->next != pCurrentNode)
{
//前進m-1步
for(i = 0; i < m-1; i++)
{
pLastNode = pCurrentNode;
pCurrentNode->next = pLastNode;
}
//刪除報m-1的數
pLastNode->next = pCurrentNode->next;
delete pCurrentNode;
pCurrentNode = pLastNode->next;
}
//釋放空間
int result = pCurrentNode->num;
delete pCurrentNode;

return result;
}

//使用標準庫STL
int JosephusProblem_Solution2(int n,int m)
{
if(n<1||m<1)return -1;
list<int> listInt;
unsigned i;
for(i=0;i<n;i++)
listInt.push_back(i);
list<int>::iterator iterCurrent = listInt.begin();
while(listInt.size()>1)
{
//前進m-1步
for(i=0;i<m-1;i++)
{
if(++iterCurrent == listInt.end())
iterCurrent = listInt.begin();
}
//臨時保存刪除的結點
list<int>::iterator iterDel = iterCurrent;
if(++iterCurrent == listInt.end())
   iterCurrent = listInt.begin();
   //刪除結點
   listInt.erase(iterDel);
}
return *iterCurrent;
}

上述方法的效率很低，其時間複雜度爲O(mn)。當m和n很大時，很難在短期內得出結果。不過好處就是能夠給出n我的出圈的次序。

下面利用數學推導，若是能得出一個通式，就能夠利用遞歸、循環等手段解決。下面給出推導的過程：

(1)第一個被刪除的數爲（m-1）%n;

(2)第二論的開始數字爲k，那麼這n-1個數構成的約瑟夫環爲k,k+1,k+2,...k-3,k-2作一個簡單映射。

（p(x)=(x-k)%n）

k--->0

k+1--->1

k+2--->2

---

---

k-2--->n-2

這是一個n-1我的的問題，若是能從n-1我的的問題的解退出n我的問題的解，從而獲得一個遞推公式，那麼問題就解決了。假如咱們已經知道了n-1我的時，最後勝利者的編號爲x，利用映射關係逆推，就能夠得出n我的時，勝利者的編號爲(x+k)%n。其中k=m%n。代入（x+k）%n<=>(x+(m%n))%n<=>(x%n + (m%n)%n)%n<=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n

(3)第二個被刪除的數爲（m-1）%n-1

(4)假設第三輪的開始數字爲o，那這n-2個數構成的約瑟夫環爲o,o+1,o+2,...,o-3,o-2。繼續作映射

p(x)=(y-o)%(n-2)

o--->0

o+1--->1

o+2--->2

---

---

o-2--->n-3

這是一個n-2我的的問題。假設最後勝利者爲y，那麼n-1我的時，勝利者爲(y+o)%(n-1)，其中o等於m%(n-1)。代入可得(y+m)%(n-1)

要獲得n-1我的問題的解，只須要獲得n-2我的問題的解，倒退下去。只有一我的時，勝利者就是編號0.小面給出遞推式：

f(1)=0;

f(i)=(f[i-1]+m)%i;(i>1)

有了遞推公式，實現就很是簡單了，給出循環的兩種實現。再次代表使用標準庫的便捷性。

int JosephusProblem_Solution3(int n, int m)
{
  if(n<1||m<1)return -1;
  int *f = new int[n+1];
  f[0]=f[1]=0;
  for(unsigned i=2;i<n;i++)
    f[i]=(f[i-1]+m)%i;//按遞推公式進行計算

  int return = f[n];
  delete []f;
  return result;
}

int JosephusProblem_Solution4(int n, int m)
{
  if(n<1||m<1)return -1;
  vector<int> f(n+1,0);
  for(unsigned i = 2;i<=n;i++)
     f[i]=(f[i-1]+m)%i;
  return f[n];
}