線性代數之矩陣總彙

一. 矩陣介紹

1. 矩陣的定義

​ 由m × n個數a_ij(i=1，2，...，m；j=1，2，...，m)排成的m行n列的數表成爲m行列矩陣，簡稱m × n矩陣，爲了表示是一個總體一般寫法老是加一個括弧，並使用大寫黑體字符表示它，記做：

\[A = \left(\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdot&\cdot&&\cdot\\ \cdot&\cdot&&\cdot\\ \cdot&\cdot&&\cdot\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{matrix}\right) \]

​ 這m × n個數稱爲矩陣A的元素，簡稱爲元，數a_y位於矩陣A的第i行第j列，簡稱爲矩陣A的(i，j)元。而元素是實數的矩陣成爲實矩陣，元素是複數的矩陣成爲復矩陣

2. 矩陣的分類

• n階方陣(n階矩陣)

  行數和列數都等於n的矩陣稱爲n階矩陣或n階方陣，n階矩陣A記做A_n

• 行矩陣(行向量)

  只有一行的矩陣，稱爲行矩陣，又稱行向量，行矩陣記做：

  \[A = (a_1,a_2,\cdots,a_n) \]

• 列矩陣(列向量)

  只有一列的矩陣，稱爲列矩陣，又稱列向量，列矩陣記做:

  \[B = \left(\begin{matrix} b_1\\ b_2\\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ b_n \end{matrix}\right) \]

• 同型矩陣%

  兩個矩陣的行數和列數都相等，就稱它們是同型矩陣

• 零矩陣

  元素所有都爲零的矩陣稱爲零矩陣，記做O,注意不一樣型的零矩陣是不一樣的

• 對角矩陣

  除主對角線的元素以外其他位置元素都爲0的矩陣叫對角矩陣，如：

  \[A = \left( \begin{matrix} 1&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&3&0\\ 0&0&0&4\\ \end{matrix} \right ) \]

• 數量矩陣

  主對角線的元素都相等，其他位置元素都爲0的矩陣叫數量矩陣，如：

  \[E = \left( \begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&2\\ \end{matrix} \right ) \]

• 單位矩陣

  主對角線的元素爲1，其他位置的元素爲0的矩陣叫作單位矩陣,一般單位矩陣使用E來表示，如:

  \[E = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} \]

數量矩陣和單位矩陣都是對角矩陣的一種特例，所以數量矩陣和單位矩陣也叫對角矩陣。單位矩陣又是數量矩陣的一種特例，因此單位矩陣又能夠叫作數量矩陣

• 對稱矩陣

  設矩陣A爲n階方陣，知足A^T=A，即

  \[a_{ij}=a_{ji}\ (i,j=1,2,\cdots,n) \]

  那麼A成爲對稱矩陣，簡稱爲對稱陣，對稱矩陣的特色是它的元素以主對角線爲對稱軸對應相等

3. 矩陣的應用

1. 示例一：求解多元一次方程組

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\\ \end{cases} \]

能夠提取出以下幾個矩陣:

\[A = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix} \]

\[C = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix} D = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix} \]

其中A稱爲未知數矩陣，B爲係數項矩陣，C爲常數項矩陣，D爲增廣矩陣

2.實例二：航線問題

四個城市間的單向航線如圖所示，若1表示衝i市到j市有1條單向航線,0表示從i市到j市沒有單項航線。

航線能夠表示爲:

\[A = \begin{pmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ \end{pmatrix} \]

二. 矩陣的運算

1. 矩陣的加法

設有兩個m × n矩陣A=（a_y）和B=（b_y）,則矩陣A與B的和記做A+B，規定爲：

\[A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix} \]

只有當兩個矩陣是同型矩陣的時候，這兩個矩陣才能進行加法運算，矩陣還知足下列運算規律（設A,B,C都是 m×n 矩陣）:

(1) A + B = B + A

(2) A + (B + C) = A + B + C

設矩陣**A **= (a_y）則 -A = (-a_y)

A稱爲矩陣A的負矩陣，顯然有:

\[A + (-A) = 0 \]

所以矩陣的減法爲

\[A-B=A+(-B) \]

2. 矩陣的乘法

2.1 數與矩陣相乘

數λ與矩陣A的乘積記做λA或Aλ,規定爲

\[\lambda A=A\lambda=\begin{pmatrix} \lambda a_{11}&\lambda a_{12}\cdots&\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}\cdots&\lambda a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}\cdots&\lambda a_{mn}\\ \end{pmatrix} \]

數乘矩陣知足下列運算規律(設A,B爲m×n矩陣,λ、μ爲常數):

(1) (λμ)A = λ(μA)

(2)(λ+μ)A=λA+μB

(3)λ(A+B)=λA+λB

矩陣加法與數乘成爲矩陣的線性運算

2.2 矩陣與矩陣相乘

設有兩個線性變換

\[\begin{eqnarray} &&\begin{cases} y_1 = a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3\\ y_2 = a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3\ \ \ \ \ \ &(1)\\ \end{cases}\\ &&\begin{cases} x_1 = b_{11}t_1+b_{12}t_2\\ x_2 = b_{21}t_1+b_{22}t_2&&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\\ x_3 = b_{31}t_1+b_{32}t_2\\ \end{cases} \end{eqnarray} \]

若想求出從t₁，t₂到y₁，y₂的線性變換，可將(2)代入(1)便獲得:

\[\begin{cases} y_1 = (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31})t_1+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32})t_2\\ y_2 = (a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31})t_1+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32})t_2\\ \end{cases} \]

上式可看出先做線性變換(1)在作線性變換(2)的結果,所以把上式線性變換結果叫作線性變換(4)與(5)的乘積,即

\[\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\\ b_{31}&b_{32}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}\\ \end{pmatrix} \]

定義:設A=(a_ij)是一個m×s矩陣,B=(b_ij)是一個s×n的矩陣，那麼矩陣A與矩陣B的乘積是一個m×n矩陣C=(c_ij),其中

\[\begin{eqnarray} &c_{ij}=a_{1i}b_{j1}+a_{2j}b_{j2}+\cdots+a_{xj}b_{jx}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\\ &(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots n) \end{eqnarray} \]

並把次乘積j基座：

\[C = AB \]

按此定義，一個1×s行矩陣與一個s×1列矩陣的乘積是一個1階方陣，也就是一個數

\[\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{is} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1j}\\ b_{2j}\\ \vdots\\ b_{sj} \end{pmatrix} &&= a_{i1}b_{1i}+a_{i2}b_{2i}+\cdots+a_{is}b_{si}\\ && = \sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\\ &&=c_{ij}\\ \end{eqnarray} \]

所以矩陣AB=C的(i,j)元,c_ij就是A的第i行與B的第j列的乘積

注意只有當第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數*時，兩個矩陣才能相乘

矩陣的乘法知足以下運算規律

(1)（AB）C = A（BC）

(2) λ（AB）= （λA）B = A（λB）（λ爲常數）

(3) A（B+C） = AB + AC

(4) E_mA_m×n = A_m×n，A_m×nE_n=A_m×n

2.3例題:求矩陣AB的乘積

\[A = \begin{pmatrix} 4&-1&2&1\\ 1&1&0&3\\ 0&3&1&4 \end{pmatrix}與 B = \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&1\\ 3&0\\ -1&2 \end{pmatrix} \]

解：A是一個3×4矩陣，B是4×2矩陣，A的列數等於B的行數，因此矩陣A與B的乘積是一個3×2矩陣

\[\begin{eqnarray} C &&= AB \\ &&= \begin{pmatrix} 4&-1&2&1\\ 1&1&0&3\\ 0&3&1&4\\ \end{pmatrix}\\ &&=\begin{pmatrix} 4\times1+(-1)\times0+2\times3+1\times(-1)&4\times2+(-1)\times1+2\times0+1\times2\\ 1\times1+1\times0+0\times3+3\times(-1)&1\times2+1\times1+0\times0+3\times2\\ 0\times1+3\times0+1\times3+4\times(-1)&0\times2+3\times1+1\times0+4\times2 \end{pmatrix}\\ &&=\begin{pmatrix} 9&9\\ -2&9\\ -1&11\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray} \]

3. 矩陣的轉置

把矩陣A的行轉成同序數的列獲得一個新的矩陣，叫作A的轉置矩陣,記做A^T

如矩陣

\[A = \begin{pmatrix} 1&2&0\\ 3&-1&1 \end{pmatrix} \]

的轉置矩陣爲

\[A^T = \begin{pmatrix} 1&3\\ 2&-1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \]

矩陣的轉置也是一種運算，知足下述運算規律

（1）（A^T）^T = A

（2）（A+B）^T = A^T + B^T

（3）(λA)^T=λA^T

（4）(AB)^T=B^TA^T

例題

已知:

\[A = \begin{pmatrix} 2&0&-1\\ 1&3&2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1&7&-1\\ 4&2&3\\ 2&0&1 \end{pmatrix} \]

求(AB)^T
解法1

\[AB = \begin{pmatrix} 2&0&-1\\ 1&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&7&-1\\ 4&2&3\\ 2&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&14&-3\\ 17&13&10 \end{pmatrix}\\ (AB)^T=\begin{pmatrix} 0&17\\ 14&13\\ -3&10 \end{pmatrix} \]

解法2

\[(AB)^T=B^TA^T =\begin{pmatrix} 1&4&2\\ 7&2&0\\ -1&3&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1\\ 0&3\\ -1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&17\\ 14&13\\ -3&10 \end{pmatrix} \]

4. 方陣的行列式

4.1 行列式

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{12}x_2=b_2 \end{cases} \]

使用消元法最終獲得的結果爲;

\[x_1 = \frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}， x_2 = \frac{b_2a_{11}-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}， \]

上述的分子，分母都是四個數分兩對相乘在相減獲得，其中分母a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁是由方程的4個係數肯定，把這四個數按它們在方程中的位置，排成二行兩列的數表

\[\begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix} \]

表達式a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁成爲上面數表所肯定的二階行列式，並記做

\[\left | \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix} \right | \]

數a_ij稱爲行列式的元素，簡稱元，元素a_ij的第一個下表表示行標，表示該元素位於第i行，第二個下表j稱爲列表，表示該元素位於第j列,a₁₁到a₂₂的實連線稱爲主對角線，a₂₁到a₂₁的連線稱爲副對角線，所以二階行列式的值就是主對角線上的乘積減去副對角線的乘積，須要注意行列式必須是行和列相等

利用行列式求解上述方程

\[D_1 = b_1a_{22}-a_{12}b_{2}=\left | \begin{matrix} b_1&a_{12}\\ b_2&a_{22} \end{matrix} \right |,\ \ \ D_2=a_{11}b_2-b_1a_{21}=\left | \begin{matrix} a_{11}&b_{1}\\ a_{21}&b_2 \end{matrix} \right |\\ D= \left | \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix} \right | \]

那麼最後的結果爲;

\[x_1 =\frac {D_1}D=\frac{\left |\begin{matrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{matrix}\right |}{\left |\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right |},\ \ \ \ x2=\frac {D_2}D=\frac{\left |\begin{matrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{matrix}\right |}{\left |\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right |} \]

4.2 三階行列式

設有以下9個數排成3行3列的數表

\[\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix} \]

記：

\[\left | \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix} \right |\\ = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a{33}-a_{11}a_{23}a_{32} \]

計算三階行列式

\[D = \left | \begin{matrix} 1&2&-4\\ -2&2&1\\ -3&4&-2\\ \end{matrix} \right | \]

求解過程爲:

\[\begin{eqnarray} D &&= \left | \begin{matrix} 1&2&-4\\ -2&2&1\\ -3&4&-2\\ \end{matrix} \right |\\ &&=1\times2\times(-2)+2\times1\times(-3)+(-4)\times(-2)\times4-\\ &&\ \ \ \ (-4)\times2\times(-3)-2\times(-2)\times(-2)-1\times1\times4\\ &&=-4+(-6)+32-24-8-4=-14 \end{eqnarray} \]

4.3 餘子式和代數餘子式

​ 在n階行列式中，把(i,j)元a_ij所在的第i行和第j列劃去以後，留下的n-1階行列式叫作(i,j)元a_ij的餘子式，記做M_ij記

\[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} \]

A_ij叫作(i,j)元a_ij的代數餘子式

例如四階行列式

\[D = \left | \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\ \end{matrix} \right | \]

在(3,2)元a₃₂的餘子式和代數餘子式分別爲：

\[M_{32}=\left | \begin{matrix} a_11&a_13&a_14\\ a_21&a_23&a_24\\ a_41&a_43&a_44 \end{matrix} \right |\\ A_{32} = (-1)^{3+2}M_{32}=-M_{32} \]

4.4 方陣的行列式

定義：有n階方陣A的元素所構成的橫列式（個元素的位置不變），稱爲方陣A的行列式，記做detA或|A|

注意方陣與行列式是兩個不一樣的概念，n階方陣表示的是一個n²個數拍成的數表，而n階行列式是這些數按照必定的算法計算獲得的一個數

由A肯定的|A|的這個原酸知足一下運算規則（設A，B爲n階方正，λ爲數）

（1）|A^T| = |A|

（2）|λA| = λⁿ|A|

（3）|AB| = |A||B|

行列式|A|的各個元素的代數餘子式A_ij所構成的以下矩陣

\[A^*=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\ \end{pmatrix} \]

稱爲矩陣A的伴隨矩陣，簡稱伴隨陣,而且知足如下公式

\[AA^*=A^*A=|A|E \]

5. 逆矩陣

5.1 逆矩陣的定義，性質和求法

定義對於n階矩陣A，若是有一個n階矩陣B使

\[AB =BA = E \]

則矩陣A是可逆的，並把矩陣B稱爲A的逆矩陣，簡稱逆陣

若是矩陣A是可逆的，那麼A的逆矩陣是唯一的，若B,C都是A的逆矩陣，擇優

\[B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C \]

所以A的逆矩陣是唯一的

A的逆矩記做A^-1，使AA^-1=E，故|A|*|A^-1|=|E|=1,因此|A|\(\neq\) 0

定理:若|A|$\neq$0，則矩陣A可逆，且

\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* \]

其中A^*爲矩陣A的伴隨矩陣，當|A|=0時，A稱爲奇異矩陣，不然稱非奇異矩陣

A是可逆矩陣的充分必要條件是|A|$\neq$0,便可逆矩陣就是非奇異矩陣

推論：若AB=E(或BA=E)，則B=A^-1

逆矩陣知足下列規律：

(1)若A可逆，則(A^-1)^-1=A

(2)若A可逆，數λ$\neq\(0,則λA可逆，且(λA)^-1=\)\frac{1}{\lambda}A^{-1}$

(3)若A,B爲同階矩陣且都可逆，則AB也可逆，且

\[(AB)^{-1}=B_{-1}A_{-1} \]

(4)若A可逆，則A^T也可逆，且(A^T)^-1=(A^-1)^T

5.2 求方陣的逆矩陣

\[A= \begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix} \]

解:

\[|A|=\left |\begin{matrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{matrix}\right |=2\neq0\\ \]

計算|A|的餘子式得:

\[\begin{matrix}M_{11}=2&M_{12}=3&M_13=2\\M_{21}=-6&M_{22}=-6&M_23=-2\\M_{31}=-4&M_{32}=-5&M_33=-2\\\end{matrix} \]

則:A的伴隨矩陣爲：

\[A^*=\begin{pmatrix}M_{11}&-M_{21}&M_{31}\\M_-{12}&M_{22}&-M_{32}\\M_{13}&-M_{23}&M_{33}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&6&-4\\-3&-6&5\\2&2&-2\end{pmatrix} \]

因此伴隨矩陣爲:

\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\begin{pmatrix}1&3&-2\\-\frac32&-3&\frac52\\1&1&-1\end{pmatrix} \]