【BJOI2019】光線 模擬

題目大意：有一束光線要依次穿過$n$塊玻璃。

第i塊玻璃的透射率爲$a_i$，反射率爲$b_i$。

問你有多少光能最終穿過全部玻璃。

數據範圍：$n≤5\times 10^5$，答案對$998244353$取模。

 

咱們考慮暴力把前$i-1$塊玻璃看作一塊玻璃，咱們計算出了這塊玻璃的透射率爲$a$，反射率爲$b$。

假設當前射過來的光線爲$x$，第$i$塊玻璃的透射率爲$A$，反射率爲$B$。

咱們考慮強行打表：

第一次穿過玻璃i的光線量爲$Ax$。

第二次爲$ABbx$

第三次爲$AB^2b^2x$

.....

以此類推。

考慮到$Bb$是小於$1$的，根據等比數列求和公式，最終能穿過玻璃$i$的光線總量爲：

$X=xA\times\dfrac{Bb}{1-Bb}$

咱們考慮如何更新$a$和$b$。

咱們按照上面強行打表的方式打一個表，發現：

$newa=Aa\times\dfrac{Bb}{1-Bb}$

$newb=B+A^2b \times\dfrac{Bb}{1-Bb}$

直接處理就好了，複雜度$O(n\log MOD)$

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define L long long
 3 #define MOD 1000000007
 4 #define I(x) pow_mod(x,MOD-2)
 5 using namespace std;
 6 L pow_mod(L x,L k){L ans=1;for(;k;k>>=1,x=x*x%MOD) if(k&1) ans=ans*x%MOD; return ans;}
 7 
 8 int main(){
 9     L a=1,b=0,x=1,I100=I(100);
10     int n; cin>>n;
11     while(n--){
12         L A,B; scanf("%lld%lld",&A,&B);
13         A=A*I100%MOD; B=B*I100%MOD;
14         L Bb=B*b%MOD; 
15         Bb=I(1-Bb+MOD)%MOD;
16         x=x*A%MOD*Bb%MOD;
17         L newa=A*a%MOD*Bb%MOD;
18         L newb=(B+A*A%MOD*b%MOD*Bb)%MOD;
19         a=newa; b=newb;
20     }
21     cout<<x<<endl;
22 }