羣論初步

前言

orz毒瘤出題人zjt

網上羣論的博客太少了，因而只能本身寫一寫了TAT~

羣的定義與基本性質

羣（G,·）（一般簡記爲羣G）由集合G和運算·組成，結合其中任意兩個元素a，b生成另外一元素，記做a·b。

羣知足如下四條性質：

（1）封閉性：對於任意兩個屬於G的元素a，b，均知足a·b也屬於G；

（2）結合性：對於任意三個屬於G的元素a，b，c，均知足(a·b)·c=a·（b·c）；

（3）單位元：必定存在且只存在一個屬於G的元素e，使得任意一個屬於G的元素a均知足e·a=a·e=a；

（4）逆元：對於任意一個屬於G的元素a，必定存在一個也屬於G的元素b，使得a·b=b·a=e。（元素a的逆元可簡記爲$a^{-1}$）

舉個例子，非零實數集與實數上的乘法運算可組成羣。

因爲羣內元素的運算與次序相關，所以羣不必定知足交換性。

知足交換性的羣稱爲交換羣，也稱爲阿貝爾羣。

從元素個數上，羣可分爲兩類。元素個數有限的爲有限羣，不然稱爲無限羣。

基本定義

羣的階：有限羣的元素個數。

元素的階：設a爲羣G的一個元素，則使$a^x=e$的最小正整數x，叫作元素a的階。羣中全部元素的階都可被羣的階整除。（拉格朗日定理）

子羣：對於羣（G，·），若G的子集H，知足（H，·）也是羣，則（H，·）是（G，·）的子羣。

生成集、生成子羣：對於G的子集M，全部包含M的羣G的子羣的交構成的子羣H，稱爲生成集M的生成子集，記做$<M>$。（顯然羣H爲包含M的最小子羣）

下面來證實一下爲何（H，·）爲羣：

（1）封閉性：對於任意兩個屬於H的元素a，b，因爲a，b屬於H，顯然屬於包含M的全部子羣，所以a·b也屬於包含M的全部子羣，可得a·b也屬於H；

（2）結合性：由運算性質而定，顯然成立；

（3）單位元：單位元必定屬於子羣的交，所以單位元也屬於H；

（4）逆元：全部包含元素a的子羣均包含元素$a^{-1}$，所以也成立。

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映射：設有A，B兩個非空集合，存在一個法則f，使得對於集合A中的任意一個元素a，按法則f均能在集合B中找到惟一一個元素b與其對應，則稱f爲A到B的映射。

滿射：對於映射f：A→B，知足f（A）=B，則稱f是滿射。

單射：對於映射f：A→B，任意兩個屬於A的不一樣元素a，b知足f（a）≠f（b）。

雙射：映射f既是滿射也是單射。

同態：存在映射f：A→B，使得任意兩個屬於A的元素a，b知足f（a·b）=f（a）·f（b）。

同構：存在一一對應的映射f：A→B，使得任意兩個屬於A的元素a，b知足f（a·b）=f（a）·f（b）。

由定義可見，同構是同態的特殊狀況。

置換羣

置換：設A是一個有n個元素的非空有限集合，A的一個一一對應的變換稱爲一個n元置換。若將A的元素按1到n編號，則該置換σ可視爲一個1到n的排列。設A={$a_1,a_2,...,a_n$},則置換σ可記爲$\begin{pmatrix}a_1 a_2 ... a_n\\b_1 b_2 ... b_n\end{pmatrix}$，$b_i=σ(a_i)$。易得A的置換共有$n!$個，若$σ(a_i)=a_i$，則稱σ爲n元恆等置換。記全部n元置換的集合爲$S_n$。

n元置換之間能夠運算，運算法則以下：

$\begin{pmatrix}1,2,...,n\\a_1,a_2,...,a_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1,a_2,...,a_n\\b_1,b_2,...,b_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1,a_2,...,a_n\\b_1,b_2,...,b_n\end{pmatrix}$

不管置換之間如何進行運算，都屬於$S_n$。置換的運算顯然知足結合律。n元恆等置換可做爲$S_n$的單位元，同時任意置換的逆元也存在於$S_n$中。所以，$S_n$與置換的運算是一個羣。

置換羣：$S_n$與置換的運算組成的羣稱爲n元對稱羣，任意子羣稱爲n元置換羣。

循環羣

若羣G存在一個G的元素g，使得$G=<g>$，則羣G是循環羣。顯然循環羣是由生成元素經過冪運算構成的。

在循環羣$G=<g>$中，若存在不一樣的整數x，y使得$g^a=g^b$，則存在整數$m=|a-b|$使得：

（1）$g^m=e$；

（2）當$1<=i<j<=m$，$g^i≠g^j$；

（3）如有$x<=m$,使得$g^x=e$，則m整除x；

（4）$<g>=\{e,g,g^2,...,g^{m-1}\}$。

若對於任意不一樣的a，b，均有$g^a≠g^b$，則$<g>$是一個無限羣。

素數階（循環）羣：設羣G的階爲p，因爲素數階羣中非單位元的元素的階m大於1，且被p整除。而p爲素數，僅有1和p兩個因數，因此$m=p$，由此可得$<g>=G$，即羣G爲循環羣。

阿貝爾羣

這裏再次orz zjt毒瘤大佬。

阿貝爾羣，又稱交換羣。顧名思義，就是運算符合交換律的羣。下面主要討論有限阿貝爾羣。

有限阿貝爾羣基本定理：全部有限阿貝爾羣均可以被表示成若干質數冪階循環子羣的笛卡爾積。（証明ないです）（Sylow定理？？）

如下爲有限阿貝爾羣的分解算法：

前置知識點

（如下參考zjt大佬的blog）

Sylow p-子羣：對於任意有限羣G和質數p，令$p_k$爲能整除|G|的最高次冪，則G存在階爲$p^k$的子羣。

線性無關：稱$\{a_1,a_2,...,a_k\}$線性無關，當且僅當對於任意i，均有$<a_i>∩∏_{j≠i}<a_j>=\{e\}$。若不知足，則稱$\{a_1,a_2,...,a_k\}$線性相關。元素x與集合A線性無關等同於$\{x\}∪A$線性無關。

基：稱$\{a_1,a_2,...,a_k\}$爲G的一組基，當且僅當$∏<a_i>=G$，且$\{a_1,a_2,...,a_k\}$線性無關。

分解算法

先溜去看大佬博客了，看懂了再更~

待更……