acwing 2 零一揹包問題

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題目描述
有 N 件物品和一個容量是 V 的揹包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的體積是 vi，價值是 wi。

求解將哪些物品裝入揹包，可以使這些物品的整體積不超過揹包容量，且總價值最大。
輸出最大價值。

輸入格式
第一行兩個整數，N，V，用空格隔開，分別表示物品數量和揹包容積。

接下來有 N 行，每行兩個整數 vi,wi，用空格隔開，分別表示第 i 件物品的體積和價值。

輸出格式
輸出一個整數，表示最大價值。

數據範圍
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

樣例
輸入樣例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
輸出樣例：
8

 

算法1
(初步動態規劃)
最開始的動態規劃想法 就是二維數組
dp[i][j]記錄 在選擇i個物品下 j揹包容積下的最大價值
狀態轉移方程式

C++ 代碼

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int N= 1010;
 7 
 8 int n,m;
 9 
10 int dp[N][N];
11 int v[N];
12 int w[N];
13 
14 int main()
15 {
16 cin >> n >> m;
17 
18 for(int i = 1;i <= n;i++){
19 cin >> v[i] >> w[i];
20 }
21 
22 for(int i = 1;i<=n;i++){
23 for(int j = 1;j<=m;j++){
24 dp[i][j] = dp[i-1][j];
25 if(j >= v[i])
26 dp[i][j] = max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
27 }
28 }
29 
30 cout << dp[n][m];
31 
32 
33 return 0; 
34 }

View Code

 

根據acwing up主的視頻和網絡上的《揹包九講》 空間存儲上還可在優化
算法2
(進階動態規劃)
咱們能夠將二維DP降爲一維DP
這個能夠看作在i的循環狀況下 咱們每次計算j(容量)的可裝的最大價值
那麼初次進入i+1 的循環時候，咱們須要利用i輪次的結果來計算i+1的結果
dp[i+1][j]在0 1 狀況下只有兩種可能 在上一輪的結果下 選擇放入當前物品 或者不放入當前物品
1 不放入當前物品的話
那麼 dp[i+1][j] = dp[i][j]; //利用上一輪的結果
2 放入當前物品的話
那麼 dp[i+1][j] = dp[i][j-v[i]]+w[i]; //利用上一輪的結果

因爲咱們始終只須要最新的i+1層的結果 那麼實際上能夠使用一維數組dp[j]來記錄每層的結果，
當從i層進入i+1層後，dp[i+1][j]的結果 實際能夠使用dp[i][j]存儲，其實就是 dp[j] = dp[j];j++(或者j–);

因爲計算機語言的特性，在執行dp[j] = dp[j]的時候 咱們必須保證等號右邊的dp[j]是沒被改動過的，這就要保證j是降序
由於dp[j]= max(dp[j],dp[j-v[i]]); dp[j]的賦值對低於j的[j-v[i]]有依賴，必須降序排列,才能保證賦值的時候等號右邊的dp[j]是沒被改動過的

C++ 代碼

 1 #include <iostream>
 2 #include <algorithm>
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int N= 1010;
 7 
 8 int n,m;
 9 
10 int dp[N];
11 int v[N];
12 int w[N];
13 
14 int main()
15 {
16 cin >> n >> m;
17 
18 for(int i = 1;i <= n;i++){
19 cin >> v[i] >> w[i];
20 }
21 
22 for(int i = 1;i<=n;i++){
23 for(int j = m;j>= v[i];j--){
24 dp[j] = max(dp[j] , dp[j-v[i]]+w[i]);
25 }
26 }
27 
28 cout << dp[m];
29 
30 return 0; 
31 }

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