揹包問題

1 問題描述

有N個商品，每一個商品的體積是c[j], j = 1, 2, 3, .., N，每一個商品的價值是v[j]， j = 1, 2, ..., N.如今有一個揹包，體積是C，如今要求往包裏面裝商品，使得在裝得下的狀況下，整包商品的價值最大。

2 問題求解的思路

2.1 子問題提取和描述

v[i, c], 當取的商品是{0, 1, 2, 3, ..., i}的子集，最大致積是c時的最大商品總價值。原問題是，當商品是{1,2,3,...,N}的子集，最大致積是C時的商品的最大總價值，這裏縮小了可選擇的商品和容量的可選空間，提取子問題，可見這個子問題和原問題是同構的。

2.2 遞推關係提取

初始值：

v[0, c] = 0

v[i, c] = -∞, c<0，這個時候方案是不存在的。

遞推關係：

分紅兩類，選擇i和不選擇i。

不選擇i，商品的最大總價值是v[i-1, c]；

選擇i時，商品的最大總價值是v[i] + v[i-1, c-c[i]]

所以

v[i, c] = max{v[i-1, c], v[i] + v[i-1, c-c[i]]}

2.3 列表求解

例子：c[j] = {3, 5, 2, 7, 4}， v[j] = {2, 4, 1, 6, 5}

v[i, c]    c = 0         1         2         3         4        5        6        7        8        9        10

i = 0          0         0         0         0         0       0         0        0        0        0         0

i = 1           0         0         0         2         2        2        2        2        2        2         2

i = 2          0          0        0         2         2        4        4        4        6        6         6    

i = 3          0          0        1          2         2       4         4        5        6        6         7               

i = 4          0          0        1          2         2       4         4        6        6        7         8

i = 5          0          0        1          2         5       5         6        7        7        9         9

因此，商品的最大價值是9。

3 編程實現

#include <iostream>int max(int a, int b){    if (a > b)    {        return a;    } else {        return b;    }}int main(int argc, char* argv[]){    int capacity[5] = {3, 5, 2, 7, 4};    int value[5] = {2, 4, 1, 6, 5};    int V[6][11] = {0};    for(int i = 1; i < 6; i++)    {        for (int j = 1; j < 11; j++)        {            if ((j - capacity[i]) < 0)            {                V[i][j] = V[i-1][j];            } else {                V[i][j] = max(V[i-1][j], V[i-1][j - capacity[i]] + value[i]);            }        }    }    std::cout<<"the max is:"<<V[5][10]<<std::endl;}